Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 91

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 122 >> Следующая

3.6. Уравнение Лапласа = 0
Известные системы координат, допускающие разделение пе" ременных для
вещественного уравнения Лапласа
Аз'Ф' (х) = 0, х = (хь х2, х3) = (х, у, г), (6.1)
определены и изучены в классической книге Бохера [27]. Однако явная связь
между этими системами и группой снимет*
3.6. Уравнение Лапласа Д3ЧГ == 0 253
рии уравнения (6.1) была установлена совсем недавно [25]. Без учета
тривиальной симметрии Е алгебра симметрии этого уравнения десятимерна и
имеет базис следующего вида:
Pt = dr.
ХГ
/= 1, 2, 3;
h - -^2^1 - Xid%,
J2 - ххд3- х$д\, - хф^- лггдз, D- - (V2 + Xidi + лг3(Зз),
^1 = Х1 + (Х1 ~ Х\ ~ хз) + 2xiX3d3 + 2х1х2^2'
Я 2 = *2 + (Х2 ~Xi~ О д2 + 2х^ЪдЪ + 2х2х1д1,
Кг = хг+ (Х1 ~х\~ х1) дл + 2*з*1а1 + 2хзхА- (6-2)
Операторы Pi и Л порождают подалгебру, изоморфную алгебре <?{?>), a D -
производящий оператор группы растяжений. Операторы Ki являются
производящими операторами специальных конформных преобразований и будут
рассмотрены ниже. В действительности с оператором Лапласа Дз коммутируют
только элементы <^(3). Относительно остальных элементов алгебры Ли
пространство решений уравнения (6.1) просто инвариантно.
Алгебра симметрии уравнения Лапласа изоморфна алгебре so(4, 1), т. е.
алгебре Ли всех вещественных (5Х5)-матриц М-, таких, что s4-G^x + G4>1s&t
= 0, где
1
-1
= J>"-"r55,
(6.3)
/=1
причем в (6.3) <Вц является (5 X 5)-матрицей, в которой элемент, стоящий
и" пересечении г'-й строки и /-го столбца, равен единице, а все остальные
элементы равны нулю:

-[ ¦ ]"•
Базис для so (4, 1) состоит из десяти элементов
гаъ = ^аЪ - ^Ъа = - ^Ъа, 1 < а, 6 < 4,
а5
5 а '
5 а>
причем соотношения коммутирования имеют вид
[ГаЪ, Гcd\ - 6ьсГad + Ъс + бсаГdb + 6dbrса,
[гоб. Гы] = - 6adrс5 + 6асГd5, [Га5, Гfc5] = гаЬ.
(6.4)
(6.5)
(6.6)
254 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
Легко проверить, что корректные соотношения коммутирования для операторов
(6.2) получаются в результате следующей идентификации:
/з=Г32, ^2 = ^24, Jl - Г4З. D == f 15"
^ 1 == Г12 -f- Г25" Р2 = Г13 + Гз5, Р3 = Г14 -f- Г45, (6.7)
^Cl = Г12 - Гг5> К2~ Г13 - Г35, ^з = Гн- Р45*
Таким образом, группа симметрии уравнения (6.1), конформная
группа, локально изоморфна 50(4,1), группе всех вещественных (5Х5)-матриц
А, таких, что
AGi,lAt = G4'1. (6.8)
Компонента единицы этой группы состоит из матриц, удовлетворяющих (6.8) и
условиям det А = 1 и А55 ^ 1. Алгеброй Ли группы 50(4, 1) является
алгебра so (4, 1); см. [134].
Вычисляя экспоненту операторов (6.2), мы получаем локальное действие
группы 50(4, 1) как группы преобразований операторов симметрии. Так,
оператор импульса и оператор момента импульса порождают подгруппу
операторов симметрии (1.12), изоморфную группе Е(3); оператор растяжения
порождает
ехр (KD) (х) = ехр (-А,/2)Лг[ехр(-А,)х], К е R, (6.9)
а операторы К/ порождают специальные конформные преобра-
зования
ехр (aiKi + а2К2 + а3К3) Ч? (х) =
= [1 - 2* •. + (а • а)<* • ' (6Ш)
Кроме того, рассмотрим для уравнения Лапласа оператор симметрии инверсии
и операторы симметрии, являющиеся отражениями в пространстве:
IW (х) = (х • х)-1/2 'К (х/х • х), 1 = Г\
= х2, х3), R = R~\ (6Л1)
Это известные операторы симметрии уравнения (6.1), не поро-
ждаемые инфинитезимальными операторами (6.2); см. [13]. Из определения
этих операторов следует, что
IP,rl = -K,. I DI~l = - D, П,г1=1,. (6.12)
Довольно утомительными вычислениями можно показать, что уравнение Лапласа
принадлежит классу I. Кроме того, хотя пространство симметрических
операторов второго порядка в об-
3.6. Уравнение Лапласа Дз^ = 0 256
дертывающей алгебре алгебры so (4, 1) и является 35-мерным, на
пространстве решений уравнения (6.1) имеется 20 линейно независимых
соотношений между этими операторами. Таким образом, всего лишь 15
операторов могут считаться линейно независимыми на пространстве решений.
Например, мы имеем соотношения
(Заметим, что эти соотношения имеют силу не в общем случае, а только на
пространстве решений уравнений (6.1), причем Гяр (см. (6.7)) являются
дифференциальными операторами на этом пространстве.)
У читателя может возникнуть вопрос, почему мы не провели подобный анализ
уравнения Лапласа Агг1г(х) = 0. Дело в том, что алгебра симметрии этого
уравнения бесконечномерна. Действительно, каждое преобразование ^(х, у)-
>-Ч?(и(х, у), v(x,y)), где и + ш = f (z), z ¦== х-{- iy, a f(z)-
аналитическая функция, определяет оператор симметрии уравнения Лапласа.
Группа всех аналитических преобразований z-vf(z) является группой
симметрии этого уравнения, но не является группой Ли. (В самом деле,
любое групповое преобразование определяется
ким образом, методы теории Ли оказываются малоэффективными для этого
уравнения Лапласа. Можно показать, что бесконечномерные алгебры симметрии
для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от п
переменных появляются только при п = 2 [106].
Вернемся к задаче разделения переменных Для уравнения
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed