Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 98

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 122 >> Следующая

базисные операторы импульса и энергии
Pa = da, ct = 0, 1, 2, (1.2)
производящие операторы однородных преобразований Лоренца МХ2 = ххд2 -
х2ди MQX = xQdx + ххд0, М02 = х0д2 + х2д0, (1.3) производящий оператор
группы растяжений
D - - (У2 + Ход0 + Худу + х^) (1.4)
и производящие операторы специальных конформных преобра-
зовании
Ко - Ха (х ' х 2.Vq) (}0 2х^Худу 2х (х2д21 Ki = х{ + (х • х + 2х2) д1 +
2х1х0д0.+ 2хух2д2,
К2 х2 -}- (х • х -}- 2х2) д2 "Ь 2x2Xq0q "Г 2х2худуг
(1.6)
где
х-у = х0уо - ххух - х2у2 = х0у0 - х • у.
(Мы игнорируем тривиальную симметрию Е.)
Для удобства введем еще один базис для этой алгебры, ясно показывающий
изоморфизм между этой алгеброй и алгеброй so (3,2). Определим so (3,2)
как десятимерную алгебру Ли вещественных (5X5)-матриц si, таких, что
siG3'2-\- G3-2si' - 0, где
1 1
G3'2= 1
-1
¦1
' kkt
/=i
274 Г л. 4. Волновое уравнение
а &ij задано формулой (6.4) в разд. 3.6. Легко проверить, что матрицы
ГдЬ = Sab - &Ьа = - Ffta, а 6
ТаВ=8аВ + %Ва = ТВа, 1<а, Й<3, 4<Л, Б<5, (1.6)
Гдв = &АВ~\~&ВА- ГВ/1
образуют базис для so (3,2), причем соотношения коммутирования имеют вид
[ГаЬ> ГсЛ бЬсГad 6adrbc + бсоГ+ 6dftrca,
[Гад, rcd] - - 6adrcB + 6acTdB, [Глг,, Г45] = бЛ5Г45 бЛ4Г55, (1.7)
[Гав, Гс?)] = 6BDTac 6acTBD, [Га5, Г45] = 0.
Этот Г-базис связан с нашим другим базисом следующими соотношениями:
Ра = Гм + Г45, = Г12 + Г25, Рг - Г13 + Г35,
Ко = Г14-Г", Ki = r12-r25, К2 = Г13 - Г 35, (1.8)
4W12 ==I Г аз, •Л4о1==Г42, Af02 = r43, ?) = Г15.
Вычисляя экспоненты операторов симметрии, можно получить локальную группу
Ли преобразований операторов симметрии уравнения (1.1). В частности,
оператор импульса и оператор Лоренца порождают группу Пуанкаре операторов
симметрии
'F(*)^'F(*A + a), a = (a0, aly а2), AsSO(l, 2), (1.9)
оператор растяжений порождает подгруппу
ехр (XD) W (х) = ехр (- Х/2) W [ехр (- Я) х], (1.10)
а операторы Ка порождают специальные конформные преобразования
ехр (а • K)W (х) *="
_ [1 + 2дг." + (0 . о) (г • *)Г,Я'Г (|+г;+;((,Л))(,.") • (1.11)
Кроме того, мы рассмотрим операторы инверсии, отражения в пространстве и
отражения во времени
PF (х) = 1-х • *Г1/2 W {-х/{х • *)), (х) = ^ (*о, - хи х2),
ТУ(х) = У(-х0, xh х2), / = Г\ S = S~1, Т = Т~1,
которые не порождаются локальными операторами симметрии. Из выражения для
оператора инверсии / следует, что
/К^Г^-Р,, IDrl^-D, /Map/_1==Map. (1.13)
4.1. Уравнение - As'К = 0 275
Поступая так же, как мы это делали в разд. 3.6, рассматривая уравнения
Лапласа, можно показать, что волновое уравнение принадлежит классу I.
Более того, хотя пространство симметрических операторов второго порядка в
обвертывающей алгебре алгебры so(3,2) 35-мерно, на пространстве решений
уравнения (1.1) имеется 20 линейно независимых соотношений между этими
операторами. Например, мы имеем соотношения
(i) Pl-Pl-Pl = K2o-Kl-Kl = 0,
(ii) Г12 + Г?3 + Г23 = XU + Г45,
(iii) М\2 - М2т - Ml, = '/4 - D2,
(iv) Г45 - Th - Tl = у4 + Г|з,
справедливые при применении к решениям уравнения (1.1).
Известно [46, 66, 139], что, формально применяя преобразование Фурье в
переменных ха, решение Ч'(х) уравнения (1.1) можно представить в виде
ОО
Ч*-(¦*;) = (4я)-1 ^ [ехр (tk • х) f (k) + ехр {ik • х) f (к)] dp (к),
(1.15)
- ОО
где k = {- ko, k\, k2), ko = (k2i + kl)112 и dp (к) = dki dk2/k0. Пусть Ж
= Ж+(r) Ж-- пространство всех упорядоченных пар ком-плекснозначных функций
F(k)= {/(k), f(k)}, определенных в R2 и таких, что
5 5 (I /Р + if Р) dp (к) < оо
(интеграл берется в смысле Лебега). Рассмотрим индефинитное скалярное
произведение в Ж, заданное интегралом
<F, G)^\\(fg-f§)dn(k). (1.16)
Тогда [46, 66] функции Т, Ф, связанные с функциями F, G соотношением
(1.15), удовлетворяют тождеству
<?,(r))=(F,G) = 2/ (^(x)a0^(x)-[a0T(x)](r)(x))dx,dx2, (1.17)
x0-t
не зависящему от t. (Чтобы быть более точными, тождество
(1.17) можно получить из (1.16), если сначала рассмотреть плотное
подпространство пространства Ж, состоящее из С°° функций с компактным
носителем, отграниченным от (0,0), а затем перейти к пределу. Для
Fсоответствующая функция ^(х) является слабым решением уравнения (1.1).в
смысле теории обобщенных функций; функция может не быть дважды непрерывно
дифференцируемой по каждой из переменных.)
276 Гл. 4. Волновое уравнение
Операторы (1.2) - (1.5), действуя на решения уравнения
(1.1), индуцируют соответствующие операторы в Ж, относительно которых
подпространства Ж+ и Ж- по отдельности инвариантны. В самом деле,
повторным интегрированием по частям можно установить, что индуцированные
операторы в подпространстве Ж+ имеют вид
Pq = iko, Рj = ikj, /= 1, 2, М\2&i<?2 -
= Ml, Л1о2 = ^0^2, D = '/г ~Ь k\d\ ~Ь k$2i
Ко = ikо (5ц -f- 622), Ki = i (^l^n - ^1^22 ~Ь 2kodi2 ~Ь ^i),
К2= i (- &2<5ц -f- &2^22 ~Ь 2k\d\2 ~Ь ^г). (1.18)
Индуцированные операторы в Ж- имеют тот же вид (1.18), но только в каждом
выражении ko заменен на - ko. Более того, легко показать, что эти
операторы являются косоэрмитовыми операторами на каждом из подпространств
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed