Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
/±XF = I (J±h), Р*^ = l{P±h)
и т. д., причем, как обычно, J- = + ih, Р == ih, Р± =
= Ч-Р2 iP 1, P° - iPi-
В качестве первого примера рассмотрим h =(2я3)~1/2 и проинтегрируем по
контурам С] и С2 в р- и /-плоскостях соответственно (рис. 1).
В этом случае h удовлетворяет уравнениям J-J/i=0, Ph - = 0, и легко
показать, что 4f(x) = /(A) удовлетворяет тем же самым уравнениям при z >
0. Таким образом, ЧДх) не зависит от сферических координат 0, ф и
является линейной комбинацией функций Бесселя p~I/2/i/2 (сор) и р-
i/2/_i/2 (сор); см. формулы (1.19). Для того чтобы найти соответствующую
линейную комбинацию, вычислим (5.2) в частном случае, когда х *= у = 0.
Тогда интеграл берется элементарно, и мы получаем
Ч* (0, 0, 2) = (//(coz)) (2/я)1/2 еш, z > 0.
Таким образом,
47(х)= - (сор)-1/2 #1/2 (ар), (5.5)
где Нп+1/2 (z) - функции Ганкеля первого (/=1) и второго 0 = 2) рода:
#v' (z) = (/ sin nv)_ 1 [/_v (z) - 7V (z) e~(IW],
H{v (z) = (i sin nv)-1 [/v (z) еш - J_v (z)],
u( I-2) m --гг/ l \n ( nz~п+* ( d \n e±iz Hn+m (z) =F t ( 1) z
-,
" = 0, 1, 2.......
Решение (5.5) является (бегущей) сферической волной.
В общем случае положим
* = ПИ (Р. " = [т|?гГ р" №> <-
/ = 0, 1, ..., m = l,l - 1.-I,
(5.7)
где Pf (z) - присоединенная функция Лежандра (это выражение имеет смысл
для всех р е С1, так как из (B.6iv) следует,
244 Г л. 3. Уравнения Г ельмгольца и Лапласа с тремя переменными
что pfm(z) при m ^ О является многочленом от г = /р, умноженным на дробь
[(t'P - 1)/(/р + 1)]т/2, которая остается ограниченной на С\ и обращается
в нуль в точке р =-i). Кроме того,
РТт {г) = (-1Г (/ - т)\ Р? (z)/(l + т)\.
Йз (2.17), (2.22) и (2.24) следует, что операторы (5.4), действующие на
функции (Р, /)}, удовлетворяют рекуррентным соотношениям (2.12) и (2.23).
Следовательно, решения ЧМ (х) = / (/<!>) уравнения Гельмгольца также
удовлетворяют этим соотношениям.
Мы уже определили сферическую волну гГо°)(х); см. (5.5). Используя тот
факт, что функции (2.28) и (2.30), а следовательно, и фиксированная
линейная комбинация этих функций удовлетворяют рекуррентным соотношениям
(2.12), (2.23), мы находим из (5.5) и (5.6), что
(р, 9, ф) = - il (сорГт Н\%2(сор) Y? (0, ф). (5.8)
Рассмотрим цилиндрическую систему, соответствующую операторам (5.4):
(r) у = - шу/(r) у, /°/?> у = mf(r) у, /и у (Р, t) = t"6 (р - у). (5.9)
Выбирая контуры интегрирования С\ и С2 так, как показано на рис. 1, мы
легко получаем
^,Y(r, 0, z) = tm+1 (- 1 )m (2я) Ут (со (l +Y2)1/2r)^m9-"vz (5.10)
для y^C\, причем {r, 0, z}-цилиндрические координаты
(2.36).
3.5. Модели негильбертовых пространств 24Е
Из (5.7), (5.9) и соответствующих интегральных представлений Ч*1 = /(/)
легко вытекает разложение
тт^-Т(_ 1 г S РТ (/р) р W 2 > °-
с' (5.11)
В общем случае, если Ч'щ подвергается переносу Т (g) = = exp(aiPi + а2Р2
+ сцРъ), мы получаем формулу разложения
Tfe)<'(x)=[.('a+('^-">!r ? S(-ir"(fe-")"x
п=-°°с' (5.12)
X РТ (*Р) !п [соа (1 + р)1/2] ехр (- а3шр) Ч^+я, " (х) d%
г + а3 > 0, а.\ -(- ш2 = aeia, а > 0.
Используя подобные приемы, можно получить разложения бегущих сферических
волн по иным базисам. В каждом случае мы получаем разложение для модели
комплексной сферы, а затем пытаемся отобразить полученные результаты
в пространство
решений Гельмгольца, используя для этого преобразование
(5.2). Эта процедура не столь проста, как та, которой мы пользовались в
случае наших моделей гильбертова пространства, и каждый отдельный случай
может потребовать использования каких-то особых приемов. Несколько
интересных случаев рассматривается в работе [29, разд. 16], причем
используется метод, отличный от нашего.
Меняя контур интегрирования в (5.2), можно получить другие разложения.
Например, рассмотрим контур С{ в р-плоско-сти, как показано на рис. 2, и
сохраним контур С2 в ^-плоскости, как изображено на рис. 1. Легко
показать, что в результате отображения (5.2), индуцированного таким
выбором контуров, получается соответствие между операторами / и Р на
пространстве (Р, t) и пространстве решений уравнения Гельмгольца.
Теперь рассмотрим уравнения на собственные значения для системы
параболических координат 8 (см. табл. 14) в пространстве (Р, t):
({/" р2) - {/,, />,}) = - 2/Лш/")т, = т/(В)т.
Легко показать, что собственные функции определяются соотношением
(Р. 0 = 0 + Р2)~'/2[(1 + /Р)/(1 -mX!2tm, К тес. (5.13)
Для удобства рассмотрим только тот случай, когда X и m-
целые числа. Подставляя (5.13) в (5.2) для контуров С[, С2 и
246 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
интегрируя, мы находим, что
= '"'(И + ц'.**' "1В(-'"Ч1)'""X
X ехр["U'" " (г"|!) Ц""'> (- to, V". (5.,4)
если
Л = - | m | - 2& -• 1, & = 0, 1,2, ..., m = 0, ±1, ±2, .. 1РЙп(х),= 0 в
противном случае.
Здесь |, rj, ф - параболические координаты
x = ?Ticos(p, ^ = gr) sin ф, а: = (^2 -
(Подробное доказательство см. в [96].) Заметим, что некоторые ненулевые
функции /(r)т в результате преобразования / отображаются в нуль. Через
