Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
tS%) являются симметриями этого уравнения, и соответствующие
инфинитезимальные операторы ехр (/i?3)Ж ехр (- /j?3) можно записать в
виде линейных дифференциальных операторов первого порядка по переменным х
и t. Аналогичным образом, если /е е Z.2(R+), то Чг(/,х)= ехр(tS'2)f(x)
удовлетворяет уравнению dtx? = 3'2x?, или t'cVF =-дххЧ?aW/x2 - х2х?/4, т.
е. уравнению Шредингера для изотропного репульсивного осциллятора.
Операторы W (g) = ехр (/i?2) L) (g)exp (-12>2) определяют группу
симметрии этого уравнения; соответствующие инфинитезимальные операторы
exp(/i?2),5{?exp(-/i?2) можно записать как дифференциальные операторы
первого порядка по переменным х и /.
Из этих замечаний следует, что уравнения Шредингера с потенциалами (5) -
(7) в табл. 5 имеют изоморфные алгебры операторов симметрии. Для каждого
из этих уравнений алгебра операторов симметрии при / = 0 является
алгеброй sl(2,R) с базисом (3.6). Несмотря на то что эту алгебру мы
впервые получили, рассматривая уравнение Шредингера с потенциалом (5), ее
можно было бы также получить при изучении уравнения с потенциалом (6) или
(7) табл. 5. Более того, мы показали, как отобразить решение одного из
этих уравнений в решение другого.
Из (3.4) видно, что операторы Ж-2, 3?ъ, 3?2, соответствующие
гамильтонианам изотропной свободной частицы, а также изотропных
репульсивного и гармонического осцилляторов, лежат на тех же SL (2,R) -
орбитах, что и три представителя орбит Ж2, 3?ъ и Ж° соответственно. Три
наших гамильтониана соответствуют трем орбитам sl(2,R). И в данном случае
имеют место замечания к формулам (1.31)-*-(1.33) и инвариантность
спектров операторов, лежащих на одной орбите; исключение составляет вид
скалярного произведения
00
(hv Aj> = 5 hl W R2 W dX> hi S L2 (R+)- <3-9)
9
2.3. Уравнение Шредингера (idi-\-dxx - а/х= 0 161
Заметим, что если {fx}-базис обобщенных собственных векторов некоторого
оператора X^sl{2,R), то (Ч\(t,x) - = exp(tJ^_2)f\(x)}-базис собственных
векторов оператора /С = ехр(^_2)JJfexp(-/Ж-2)\ функция Ч\ удовлетворяет
уравнению Шредингера для изотропной свободной частицы. Подобные замечания
относятся и к остальным гамильтонианам.
Приведем сначала известные результаты, полученные для спектра оператора
3?г. Имеем уравнение для собственных функций
/2У = Л/, (- дхх + а/х2 + *2/4) / = Я/;
нормированные собственные функции имеют вид
л3' м=(птадГ "р (- 4) (4) •
% = %п 2п - р/2 - 1, а = (р2 - 1)/4, р>2, (ЗЛ0)
п = 0, 1, 2....
где Ь{п(г)~ многочлен JTareppa (см. (B.9i)). Функции {/[?} образуют о. н.
базис в L2(R+) (см. [116]).
Используя известные рекуррентные формулы (4.9) для многочленов Лагерра,
нетрудно проверить, что действие операторов &! на базис {№} определяет
неприводимое представление алгебры sl(2,R), принадлежащее к дискретной
серии. Оператор Казимира будет иметь вид - &з) = - 3/16 + а/4
Известно [11, 120], что представление этой алгебры Ли расширяется до
глобального унитарного неприводимого представления группы SL(2,R).
Матричные элементы оператора U(g) в базисе {fn } можно найти в [120] или
[88].
Теперь вычислим операторы U(g) непосредственно. Ясно, что
ехр (аЖ°) h (х) = ехр (а/2) h (еах),
ехр (аЖ2) h (х) = ехр (/ах2/ 4) h (х), he L2 (R+).
Далее,
ехр (Р#а) h (х) = № 1. I. m. J (ху)Ч* X
о
X exp (± J (x2 + у2) I ctg p |) (y,-^ p, ) h (y) dy,
0 < IPI < я, (3.11)
где берется верхний знак при р > 0 и нижний знак при р < 0. Соотношение
ехр (л-^з) = ехр [-/л (1 + р/2) ] позволяет вычислить ехр(р2'3) при любом
р. Для доказательства применим интегральный оператор (3,11) к /д-i далее,
используя формулу
152 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Хилле - Харди (4.27) и тот факт, что
ехр (PS's) fn = ехр [- /р (2п р/2 + 1)] }п\
проверим справедливость формулы (3.11). Поскольку (3.11) имеет место для
элементов о. н. базиса и оператор ехр (р^з) унитарен, соотношение (3.11)
должно иметь место для всеч h^L2(R+).
Формула группового умножения
ехр (y<5^_2) = ехр (- sin 0 cos вЖ2) ехр (In cos вЖ°) ехр (Э^з),
где у = tg 0. и соотношения (3.10), (3.11) позволяют получить формулу
ехр (уЖ_2) h (х) = -?1-^]±21- I- i. m. ] (ху)'* X
о
х ехр (/ h (у) dy, (3.12)
где берется верхний знак при у > 0 и нижний знак при у < 0. Аналогичные
теоретико-групповые соотношения дают
ехрОрг,)* (х) = 21/411. i. m. Г(хй'ЯХ
о
X ехр (д (х2 + у2) cth ф) Jm (2|^ф|) h (у) dy. (3.13)
Из (3.12) находим, что базисные функции fn\x) отображаются в о. н.
базисные функции (t, х) = ехр ЦЖ_2) fn\x):
(/, 2)- ехр [± /Я Ji±i] (T^F)(U+1,/4 X
x{t_ir^-n {t + ir+w+n exp Lr (Yn^),
ЧФ 0; (3.14)
эти функции суть решения уравнения (3.1) с ^-разделенными переменными.
(Формулу (3.14) можно получить на основании того, что функции 'Р(r) -
решения с ^-разделенными переменными вида 3 в табл. 9.)
Заметим, что SL(2, R) -орбита, содержащая оператор 3?2 (изотропный
репульсивный осциллятор), также содержит оператор Ж°, и поэтому
рассмотрим только спектральную теорию оператора Жй. Эти результаты
