Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 60

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 122 >> Следующая

n-0
если же a = й/1/2, 6 = а/~1/2, то соотношение (4.26) сводится к формуле
Хилле - Харди
(l-Х)-1 e*p[-4f±f (^12.)-
Z 11 to) U-"- " (г) s", I s I < 1; (4.27)
rt=0
cm. [17].
2,5. Разделение переменных для уравнения Шредингера (idt + дхх + dyy)W =
0
Применим рассмотренные в разд. 2.1 методы к временным уравнениям
Шредингера с двумя пространственными переменными
idtW = - дххЧГ - дуу*Р + V (х, у) V, (5.1)
где V - потенциал. Бойер [20] дал классификацию всех уравнений вида
(5.1), которые допускают нетривиальную алгебру симметрии дифференциальных
операторов первого порядка. Он показал, что (а^ максимальная размерность
для алгебры сим-
2.5. Уравнение Шредингера (idt + dxz + dyy)~V = 0 163
метрии равна девяти; (б) этот максимум имеет место только для четырех
потенциалов V, представленных в табл. 11; (в) алгебры максимальной
размерности изоморфны. (В действительности существуют четыре класса таких
потенциалов, которые соответствуют орбитам алгебры симметрии. В табл. И
мы просто перечислили по одному представителю из каждого класса.) Нидерер
[104] показал, что все четыре уравнения с максимальной алгеброй симметрии
фактически эквивалентны. Мы проведем подробный анализ этой
эквивалентности и свяжем ее с разделением переменных.
Таблица И
ПОТЕНЦИАЛЫ V (х, у) С МАКСИМАЛЬНОЙ
СИММЕТРИЕЙ
V Название системы
(1) 0 Свободная частица
Гармонический осцилля-
(2) k (x2 + y2), k > 0 тор
(3) -k (x2 + y2), k>0 Репульсивный осциллятор
(4) ax, аФ0 Движение в однородном
внешнем поле (линей-
ный потенциал)
Как и в разд. 2.1, начнем с анализа уравнения Шредингера для свободной
частицы, которое мы запишем в следующем виде:
QW = 0, Q = idt + + dXlXl, (х\, х2) = (х, у). (5.2)
Комплексная алгебра симметрии Щ этого уравнения девятимерна и имеет базис
*2 = - - t (V*. + VJ - t + 1(*? + 4)/4. к_2 = dt,
Ps = dXj, Bj =- tdXj +iXj/2, /=1,2, (5.3)
M = xidXj - x2dXl, E = i, D = x\dXl + x^Xt + 2 idt + 1 и соотношения
коммутирования вида [D, К±2] = ± 2К±ъ [D, В]] = [D, Р,] = - Р"
[D, М] = 0, [М, К±2] = 0, [Р/( M] = (-\)i+'Ph
[Bjb M] = (-\)!+l Bh [K2, K-2] = D, [K2, B;] = 0, (5.4)
[K-2, Bj] = - Pjt [K_21 p,] = 0, [Pj, K2] = By,
[Py, By] = 42E, [Py, B(] = 0, /,/=1,2, /=jH
164 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
причем оператор Е лежит в центре алгебры Ниже мы будем исследовать только
алгебру Шредингера Эз, т. е. вещественную алгебру Ли с базисом (5.3).
Еще один полезный базис для дается операторами В/, Р/, Е, порождающими
пятимерную алгебру Вейля 2P2, оператором М и тремя операторами L\, L2,
L3, где
L\ = D, L2=K2~\~K-2' Ез = K-2 - (5.5)
Для Lj выполняются соотношения коммутирования
[Е\, L2] = - 2L3, [L3, L\] = 2L2, [L2, L3] = 2Li, (5.6)
и поэтому они образуют базис алгебры Ли sl(2,R); сравните с (1.11).
Следовательно, - полупрямое произведение алгебр s/(2, R) ф о(2) и Ж2, где
о(2) - одномерная алгебра Ли, натянутая на М.
Используя стандартные формулы теории Ли, можно вычислить экспоненту
операторов (5.3), с тем чтобы получить локальную группу Ли G3 (группу
Шредингера) операторов, действующих на пространство SF локально
аналитических функций от вещественных переменных (, х,- и отображающих
решения уравнения (5.2) в решения. Необходимые вычисления выполняются с
помощью формул (1.15) - (1.19).
Действие группы Вейля W2 определяется операторами
Т (w, z, р) = ехр (m^Bi) ехр foPi) ехр (w2B2) ехр (z2P2) ехр (р?),
w = (wu w2), z = (21,22),
такими, что
Т (w, z, р) Т (w', z', р') = Т (w + w', z + z', p + p' + '/2w' • z),
(5.7)
где
T (w, z, p) Ф (/, x)=exp [/ (2x • w - /w ¦ w + 4p)/4] Ф (/, x - tw + z),
Ф<=У.
Здесь x-w = Х1Ш1 +х2ш2- Действие группы 50(2) определяется операторами
Т(0) = ехр (вМ),
Т (0) Т (0') = Т (0 + 0'),
где
( cos 0 sin 0 \
Т(0)Ф(/, х) = Ф(г, х0), 0 = (_s.n0 COS0J- (5.8)
И наконец, действие группы SL(2,R) определяется операторами Т (А),
Т (А) Ф (I, х)=ехр ["frTjT)] <5 + 'И "1 ф [Щ? " + ФГ ' ,
/о р\ (5.9)
Л = и Ь
2.5. Уравнение Шредингера (idt -f дхх + фДЧ'' = 0 165
причем
Т (Л) Т (В) = Т (АВ), А, В z=.SL (2, R).
Однопараметрические подгруппы группы SL(2,R), порождаемые операторами
К±2, Lu Ь2, Вз соответственно, определяются формулами (1.17). Сопряженные
действия групп 50(2) и SL(2,R) на W2 определяются следующими
соотношениями:
Т-1 (А) Т (w, z, р) Т (А) = Т (w', z', р'),
р' = р + (w' • г' - w • z)/4, w' = 6w-)-pz, z' = az -f yw,
(5.10)
T1 (9) T (w, z, p) T (0) = T (w0, z0, p).
Эти соотношения определяют G3 как полупрямое произведение групп SL (2, R)
ф SO (2) и W2\
? = М> v) е 03, А е SL (2, R), 0 е SO (2), v=(w, z, р) е U72;
Т(?) = Т(Л)Т(0)Т(у). (5.11)
Группа G3 действует на алгебру Ли ^3 дифференциальных операторов
посредством сопряженного представления
и в результате этого действия ^3 разбивается на бз-орбиты. Дадим
классификацию структуры орбит факторалгебры § s* ^дъ/{Е), где {?}-центр
алгебры Пусть и пусть
а2, а0, ci-2 суть коэффициенты при операторах К2, D, Д_2 в разложении
оператора К Ф 0 по элементам базиса (5.3). Полагая, что a = а2а_2 + а.2,
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed