Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 52

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 122 >> Следующая

аналитическими функциями от переменных t, х с ненулевым якобианом. Две
системы координат, допускающие разделение переменных, считаются
эквивалентными, если одну из них можно отобразить в другую с помощью
некоторого элемента группы G2 ) Результаты приводятся в табл. 8, где t =
v для каждой системы координат {и, о}, допускающей разделение переменных,
а блица 8
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ДОПУСКАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С //-РАЗДЕЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Оператор Я Координаты {ы, t>} Множитель #*=
Решения с разделенными переменными
1 //_[, Н_2 х = и
2 Н _ 2 + х - и + цг/2
3 Н°
х = и л/v
91 =* 0 Произведение экспонен-
циальных функций ! = - uvj 2 Произведение функции
Эйри и экспоненциальной функции 91 = 0 Произведение многочле-
на Эрмита и экспоненциальной функции
Заметим, что комплексное уравнение теплопроводности является
комплексификацией как вещественного уравнения теплопроводности, так и
уравнения Шредингера для свободной частицы. В вопросах разделения
переменных комплексификация приводит к тому, что орбиты 1 и 2 табл. 6 и 7
соответствуют орбитам 1 и 2 табл. 8, в то время как орбиты 3 и 4 табл. 6
и 7 сливаются в одну орбиту 3 табл. 8.
Чтобы вывести тождества, связывающие решения от разделенных переменных
комплексного уравнения теплопроводности,
2.2. Уравнение теплопроводности (dt - дхх)Ф = 0 139
можно использовать метод Вейснера и рассмотреть разложение произвольной
аналитической функции в ряд по функциям Эрмита (орбита 3 табл. 8).
Подробные выкладки, выполненные Вейснером, можно найти в [35], а
алгебраические связи с теорией Ли рассматриваются в [83]; поэтому здесь
мы исследуем только некоторые вопросы теории этих разложений.
Из (2.10) и строки 3 табл. 8 видно, что решения уравнения
(2.1) в виде многочленов Эрмита имеют место в координатах {s,z}, где
s = _/V//2, z = ix/(2 VO- (2.22)
В этих координатах операторы (2.2) принимают вид Н2= - 2s2(zdz + sds + 1
- 2z2), Нх = s (- дг + 2z), Я0= 1, Я_, = ^-<Эг) Я_2 = -^-(г<Эг-^), Н° =
зд3 + ±, (2.23)
а уравнение теплопроводности записывается в виде
(iдгг - 2zdz + 2sds) Ф (z, s) = 0. (2.24)
Рассмотрим решения Ф уравнения (2.24), которые являются собственными
функциями оператора Н°:
Н°Ф = (п + V2) Ф =*¦ Ф =" /" (z) sn.
Подставляя эти решения в (2.24) и сравнивая полученные обыкновенные
дифференциальные уравнения по переменной z с (Б.10), находим, что функции
Фn(z, s) = Hn(z)sn, 6rt(z, s)=*'ez'H_n_l{lz)sn (2.25)
образуют базис совместных решений, причем функции Эрмита Hn(z)
определяются соотношением
(z) = 2Л/2 ехр (z2/2) D"(V2z), neC, (2.26)
где Dn{z)-функции параболического цилиндра. Если п = = 0, 1, ..., то
H"(z)-многочлены Эрмита (Б. 12).
Чтобы понять значение полиномиальных решений, рассмотрим систему
уравнений
Я_,Ф = 0, <2Ф = 0,
решение которой Ф = 1 единственно с точностью до мультипликативной
константы. Воспользуемся этим простым решением и знанием алгебры
симметрий ^2. чтобы построить другие решения. Если Ф(г, s) -
аналитическая функция от переменных
140 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
(г, s), то, согласно стандартным фактам теории Ли, ехр (аН{) Ф (z, s) =
ехр (2аzs - a2s2) Ф (z - as, s) =
ОО
= Х-^(Я1Гф(г, s).
п-О
Более того, если Ф - решение комплексного уравнения теплопроводности, то
ехр(аЯ1)Ф - также решение (в предположении, что это выражение имеет
смысл). Полагая в предыдущей формуле (r)sl, мы находим
ОО
ехр (2azs - a2s2) = ? -~f Ф* (2> s)'
Ф0=1, Ф"-(Я,ГФ0, "=1,2,.... (2'27)
Теперь рассмотрим действие операторов симметрии Яна Фл. Используя
соотношение [Я_i, Hi) = 1/2Н0 и индукцию, находим [Я_1, {Нх)п] -(п/2)
(Hi)n-\ "=1,2,___________ Применяя это тож-
дество к Фо, получаем
Я_,Ф" = ("/2) Ф"_,, "=1,2............... (2.28)
(Это выражение имеет смысл при " = 0, если положить Фл = = 0 при " < 0.)
Из определения Ф" вытекает
Я,Ф" = Ф"+Ь " = 0,1,..., (2.29)
и из соотношения [Я0, Н\] =Н\ получаем
Я°Ф" = (л ¦+ '/а) Ф", Ф" = fn (г) sn. (2.30)
Из (2.30) следует, что f"(z) выражаются через функции Эрми-та. В самом
деле, сравнивая (2.28), (2.29) с рекуррентными соотношениями (Б. 13),
находим решение в виде многочленов Эрмита
Ф"(г, s) = Hn(z)s", " = 0, 1, 2............... (2.31)
Подставляя (2.31) в (2.27) и полагая s=l, получаем основную производящую
функцию для многочленов Эрмита
ОО
ехр(2az - a2) = Я" (z). (2.32)
/7 = 0
Используя соотношения коммутирования, получаем в дополнение к
рекуррентным формулам (2.28), (2.29) для многочленов Эрмита следующие
соотношения:
Я_2Ф" = (л/4)("-1)Ф"_2, Я2Ф" = Ф"+2, Я0Ф" = Ф", (2.33)
л = 0, 1,2,....
2.2. Уравнение теплопроводности (dt - дхх)Ф = 0 141
Можно получить целый ряд тождеств для многочленов Эрмита, если применить
групповой оператор T(g), g^Gl (см. (2.9)) к элементу базиса Фт и
полученный результат разложить по функциям базиса {Фл}'-
Т(?)Фт(2, S)= Е Tnm(g)(r)n(z, s), m = 0,1,2...................... (2.34)
0
Эта процедура целесообразна при условии, что мы можем вычислить матричные
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed