Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
[Я_ь Н2] = Ни [Я_" Hi] = '/2H0, (2.3)
[Я_2, Я,] = Я_Ь [Я_2, Я2] = Я°.
Вещественную алгебру Ли с базисом (2.2) мы обозначим через ^2.
Как обычно, можно перейти к экспонентам элементов алгебры % чтобы
получить локальную группу Ли G2 операторов, действующих в пространстве FF
функций Ч*- (/, х), аналитических в некоторой данной области S) плоскости
(x,t). Операторы Я_i, Я], Н0 образуют базис алгебры Вейля Ж\, и
соответствующее действие группы Вейля tt^i задается операторами
Т (и, v, р) = ехр([р+ ыи/4]Я0)ехр(иЯ1)ехр(оЯ_1), (2.4)
для которых справедливо правило умножения
Т (и, v, р) Т (и', v', р') =
==¦ Т (и + и', v + v', р + р' + (vu! - uv')/4), (2.5)
причем
Т (и, v, р)1!7 (t, х) =
*= ехр[р + (uv + 2их + "20/4](t, х + у + ut), ТаГ,
2.2. Уравнение теплопроводности (di - дхх)Ф = 0 133
Операторы Я2, Я_2, Я0 образуют базис подалгебры, изоморфной sl(2,R), и
соответствующее действие SL(2,R) задается операторами
ТИ)Ч>((,*)=ехр(-7Тг^щ-)(" + *Г''!Ч>(|±|-, -jfij-),
Группа SL(2,R) действует на Wi посредством сопряженного представления
Т 1 (А)Т(и, V, р)Т (Л) = Т(н6 - оа - "у, р). (2.8)
Мы можем теперь определить группу симметрии G2 как полу-прямое
произведение SL(2, R) и Wj:
g = (A, w) <= G2, A&SL (2, R), w = (u, v, p) e Wu
T(g) = T(,4)T(w), (2.9)
T (g) T (g') = T (AA') [I"1 (A') T (w) T (A')] T (w') - T (ggO.
Ясно, что операторы T(g') отображают решения (2.П в решения. Кроме того,
д2 действует на алгебру Ли ^2 дифференциальных операторов Я посредством
сопряженного представления
и это действие разбивает % на 02-орбиты.
Нетрудно показать, что в результате сопряженного представления Зда0}
разбивается на пять орбит (так же как и в разд. 2.1, мы пренебрегаем
центром алгебры %) с соответствующими представителями этих орбит Я0, Я2 +
Я_2, Я_2 + Я1, Я_2, Я-i. Поскольку на решениях уравнения теплопроводности
Я_2=(Я_О2, с этими пятью орбитами связаны только четыре системы
координат, допускающие ^-разделение переменных. Окончательные результаты
представлены в табл. 7. (Дальнейшие подробности см. в работе (58].) Для
каждой системы координат (и, у} мы имеем / = V.
Особый интерес представляют собственные функции оператора Я0. Согласно
табл. 7, эти собственные функции допускают
(2.6)
где
Отметим, что
Я-*Яг = Т (g) НТ~ (g),
134 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Таблица 7 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ДОПУСКАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (д, - дгх)Ф
(/, х) = 0 С tf-РАЗ ДЕЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Оператор Н Координаты {ы, "} Множитель R = e^ Решения с разделенными
переменными
1 ^-1" ^-2 X = и 52 = 0 Произведение экспоненциальных функций
2 Н_2 + Н1 х = и + v2/2 31 = - uv/2 Произведение функции Эйри и
экспоненциальной функции
3 № н II с зг = о Произведение многочлена Эрмита и
экспоненциальной функции
4 Н2 + Н_2 х = и (1 + V2)112 31 = u2v/4 Произведение функции
параболического цилиндра и экспоненциальной функции
разделение переменных в координатах u - xj^jt, v - t. Более того, решения
Фл {t,x) уравнения теплопроводности, удовлетво. ряющие соотношению
Н°Фп=(п1/2)Фп, п - О, 1, являются тепловыми многочленами
фл (/. X) = (/ л/1/2)п На (ix/2 У?). (2.10)
(Легко видеть, что эти функции являются многочленами от t и х.) Полная
теория разложения решений уравнения теплопро-водности по тепловым
многочленам дана Розенблюмом и Уид-дером [114].
Сама симметрия (2.6) не очень известна, однако один ее частный случай
играет важную роль в теории уравнения теплопроводности. Если в (2.6)
положить
то мы получим симметрии
T(4W. *) = ехр (¦??,)% ((=-[, Jgl).
Т(4)ЧЧ1, х) - ехр (- ?) r,l2V (- } ¦ т) • (2'")
2.2. Уравнение теплопроводности (dt - д,х)Ф = 0 135
Симметрия Т (Ла) называется преобразованием Аппеля [4, 14]. Мы включаем
это преобразование в группу Ли симметрий.
Известно, что если f(x)-ограниченная непрерывная функция, заданная на
вещественной оси, то существует единственное решение Л'Ч. х) уравнения
теплопроводности (2.1), ограниченное и непрерывное по t и х для всех
xei?, t ^ 0, непрерывно дифференцируемое по t, дважды непрерывно
дифференцируемое по х для всех xefi, / > 0 и такое, что Л*1 (0, х) = =
f(x) [109]. Это решение дается формулой
оо
V (t, х) = (Ш)~ш 5 ехр [- (х - yf/(401 f (у) dy = I* (Л. (2.12)
- ОО
Более того, имеет место соотношение
оо
? (/, х) = [4л (( - т)Г1/2 J ехр [- {4X{t~_y)x) ] ч? (Т, у) dy, t > т,
(2.13)
при помощи которого можно получить решение Л'1 в момент i, если известно
Л*1 в более ранний момент времени т <. i.
Некоторые теоремы разложения для решений уравнения
(2.1) можно получить, используя не зависящую от времени форму
оо
0F, Ф)= 5 ЛЧ*. *)Ф(-*, x)dx,
- оо
где Л', Ф - решения уравнения теплопроводности (см. [114]); тем не менее
не все операторы (2.4) - (2.6) унитарны. По-видимому, для данной задачи
нет подходящей структуры гильбертова пространства. Однако по аналогии с
нашим исследованием уравнения Шредингера можно найти иную весьма полезную
модель действия группы. Чтобы получить эту модель, рассмотрим операторы
