Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 59

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 122 >> Следующая

нашей алгебры Ли (4.9). Следуя [83, разд. 5.2]', возьмем базисные функции
в виде
fn(w) = ±r(n-2l)w*, п = 0,1,2,...,
2.4. Комплексное уравнение (дх -д** + а/хг)<S)(t,x) = 0 159
и введем следующие операторы:
J+ = w2^--2!w, Г = -4~, P - w-4-l. (4.18)
dw dw dw ' '
Легко проверить, что для этих операторов выполняются соотношения (4.3), а
новые базисные функции и операторы удовлетворяют (4.9). Далее, применяя
(4.15), можно показать, чго соответствующее действие локальной группы
SL(2, С), определяемое операторами Т(Л), можно представить в виде
Т (Л) f (w) = (bw + d)^ f , I bw/d | < 1. (4.19)
Матричные элементы определяются соотношениями Т (A)fm(w) = ZTnm(A)fn(w),
rt-o
ДЛИ
d2l~m (1 + bwjd)2l~m (aw + c)m Г (w - 2l)/m\ =
oo
-=• Z тпт (А) Г (n - 21) wn/n\, | bw/d | < 1. (4.20)
я=0
Раскладывая левую часть формулы (4.20) в степенной ряд по w и сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях wn, получаем
and2l~mcm~nV (т - 21) D ( - п, т - 21 \ Ьс \ " П1Ч
TnmiA)- y (т - п+ 1) Г (п - 21) 21 m_"+i Р )¦ (4-21)
Более того, Т(ЛЛ7) = Т(А)7(А'), если Л и Л7 принадлежат некоторой малой
окрестности единицы группы SL(2, С), и поэтому
Tnm(AA')^ZTnk(A)Tkm(A').
4=0
Подставляя в (4.17) функции (4.10) и используя (4.21), получаем тождество
0+?Гт('+^гГ"рЫУх
xtf-feo +?)"(• + *)"]-=z^(-г)"'г И- 0- л I а ) <*>•
п-0 '
| bs/d | < 1, d = (l + bc)/a, (4.22)
160 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
справедливое для всех целых т>0 и всех I е С, таких, что 21^=0, 1, 2, ...
. (В формулах (4.21) и (4.22) используется тот
факт, что 2^1^ ^ z)/r (y) ~ целая функция от а, р, у, и это
позволяет придать им смысл, когда у - отрицательное целое число.)
Если а = d = s = 1, с = 0, то последнее соотношение упро-щается и
принимает вид
(1 - 6)2,-техр [- Ьф - 6)] LiT2'"1' (ф - Ь)) =
л-0
При т = 0 это выражение сводится к (4.11) с а = Ь. Если a = d = s= 1, 6 =
0, то формула (4.22) упрощается и прини-мает вид
и+сГ itГ-" (тЫ - ? (т ~1 - ')"- (г).
Аналогичные соотношения можно вывести и для базисных функций (4.7),
которые не являются многочленами от г, т. е. в случае, когда т + / ф 0,
1,2, .... По поводу этих результатов см. [83, разд. 5.8].
Используя возможности метода Вейснера в полной мере, можно вывести более
общие соотношения для функций Лагер* ра. Если ^(z, s) -аналитическое
решение уравнения (4.6), разлагающееся в сходящийся ряд Лорана
^ (z. s)= Z fm(z)sm,
m
то его коэффициенты fm(z) суть конфлюентные гипергеометрн-ческие функции
(функции Лагерра), т. е. линейные комбинации функций Lm+i~l)(z) и
z2l+1Lm-i-i(z), где 21 не является целым числом. Если дополнительно
потребовать, чтобы функция 'F была аналитической при z = 0, то fm (z) =
стЬт+Г!) (z), сп е С. Таким образом,
? (z, s) = Z cmLk?,~1) (г) sm. (4.23)
т
Формула (4.22) является примером подобного соотношения, и,
воспользовавшись методами алгебр Ли, можно вычислить коэффициенты ст в
явном виде. Однако это уже неверно в случае Т(Л)ЧГР, р е С:, где
А
¦(Г!)-
2.4. Комплексное уравнение (дх - дхх + а/х2) Ф (т, х) = 0 161
a Чгр дается выражением (4.7). В этом случае мы имеем
.-'(1-.)'-*еЧ,[-та_]4а-"(т=г)-
= ^ср^г'~"(г)з-'*", | я | < 1.
л=>0
Это соотношение не имеет вид соотношения (4.22), поскольку А отграничено
от единицы и р не обязательно целое число. Полагая z = 0, легко вычислить
коэффициенты срп. В результате получаем производящую функцию для
многочленов Лагерра
(1р[-
= Ё <- *>" г-(" - 1) (4-24>
п-0
|s|< 1.
В качестве следующего примера рассмотрим (4.23), когда функция Ч'
является собственной функцией оператора J~. Поскольку оператор J~ лежит
на орбите 1 (см. табл. 10), в качестве Чг можно взять решение с
разделяющимися переменными в координатах х, т и выразить его через
функции Бесселя (следует учесть переход от уравнения (4.1) к (4.6)).
Таким образом, совместное решение Ч' уравнения (4.6) и уравнения J~W = =
-Ч' имеет вид
Ч' (z, s) = s-'es (zsf1+1)12 (2 (2s)1/2> (4.25)
Более того, функция
Ч'' = Т (Л) Ч' (2, s) = s'1 (d 1- М~'ехр[-^-^^± с-] х
bs
< 1,
где матрица А дается формулой (4.12), также удовлетворяет уравнению (4.6)
и уравнению (/¦-)/Чг/ = -Ч'', в котором
(/-), = Т(Л)/_Т(Л_1) = - b2J+ + d2J~ -2bdJ°.
Поскольку w~mJm(w) -целая функция от w при любом т е С, функция Ч'Хг, s)
имеет лорановское разложение по степеням s следующего вида:
00
Ч'' (г, s)=Zc"(Л) L(n2l~l) (2) sn, | bs/d \ < 1.
n=0
162 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Полагая г = О, находим
(d + bs)2lex?сп(А)Г(п-21)^,
bs
. т
п=о
< I;
сравнивая это выражение с (4.22) при m = О, получаем
iii\ " ( ас \ -2/ ( ab \п (-2/-1)/ а \
с"(Л) -ехр (^i + 6J Т{п_21) а \ + ьс) Ln U(l + 6e)J'
п - 0, 1,2,..., 2/ ф 0, 1, 2....
Полагая с - 0, получаем в результате соотношение
(1+аЬзГ1 ехрГ^^^ЗД(Л#'+,,в f-4?^) =
L а + 6s J \ а + bs /
Ё Г abs)n Ь{п-21-1) (|) L(-2/~1) (г), \abs\<l. (4.26)
л=0
Если а = 1, Ь =0, то формула (4.26) принимает вид
es (zs)(2/+1)/21-21-1 (2 (zs)m) = ? L\~n~V) (z) sn/l' (n - 21),
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed