Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 57

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 122 >> Следующая

достаточно известны [37]. Урац-цение для определения собственных функций
имеет вид
0uf = Xf, Ж0 = хдх -ц '/?•
2.3. Уравнение Шредингера (idt + дхх - а/х2)Чг = 0 153
Известно, что спектр этого оператора непрерывен и однократно покрывает
всю вещественную ось. Обобщенные собственные функции имеют вид
(х) = {2n)-mxiK~xl\ - ОО < ж оо, (ft\ /{?>> = 6(Я - Q. (3.15)
Используя (3.12) и разделяя переменные, находим функцию Ч12)(/, *) = ехр
(/Г_2) #?(*):
Ч^ (/, х)=(2л)-1/2 Г(4~т+т) ехр[~ т(т-+г'-Я)]2а""/2_1Х X^-w(?)"+lvtL№-
Mm(?)- />0; (3.16)
Ч2>(-/, х) = Ф'Л(/, X).
Отсюда следует, что базисные функции удовлетворяют соотношению
<4f(/, •). ^2)(/. •)> = *(*-"
и что по ним можно осуществить разложение любого элемента
As L2(/?+).
Наконец, орбита, содержащая Ж-z и соответствующая уравнению для
изотропной свободной частицы, содержит также оператор Жч- Спектральная
теория оператора Ж^ элементарна, поскольку в нашей реализации этот
оператор уже диагонализиро-ван. Обобщенные собственные функции имеют вид
(символически)
№(х) = 6(х-Х), ВД11) = (Я2/4)Д1)> Х>0. (3.17)
Спектр непрерывен и однократно покрывает положительную вещественную
полуось. Мы имеем Ч^1' (/, х) = ехр ((Ж_2) f\] (х), или
-й'(/, т"ехр(^_),
(3.18)
причем (Ч'а!'. Ч^1') - б (Я -• ?). Разложение по элементам базиса
{Ч'а,1'} эквивалентно обратному преобразованию Ганкеля (см. '[52]).
Функции Ч'!1' являются базисными функциями оператора Ki-
Для каждого из наших базисов существует непрерывный аналог производящей
функции вида (1.55), где в данном случае
Hi. X, у) = "и*М"+?)'4 ехр [Ц(А)
(3.19)
(см. [58]).
164 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Функции fi'') имеют тот же самый смысл, что и аналогичные функции,
описанные в разд. 2.1. В силу простоты базиса № имеется единственный
нетривиальный случай:
/t(3) ?(2)\_ 1 Г Г (п + 1 + р/2) 0ц/2-2(Д.-П1/2 Г (-Ц./2 + ц/4 +
1/2) Чу>
\1п'П/- 2l nnl Z ] Г {1 + р/2) Л
В частности, отметим, что функции (f\\ зависят от представителей f\-\
выбранных на каждой орбите. Наиболее общий способ определить эти функции
состоит в изучении матричных элементов смешанных базисов (f\\ U (g) f^),
g e
eSL(2,R). Некоторые из этих элементов подсчитаны в работе [22]^.
2.4. Комплексное уравнение (дх - дхх + а/х2) Ф (т, х) ¦= О
В этом разделе мы рассмотрим комплексификацию уравнения (3.1). Теперь
переменные t их могут принимать комплексные значения, а константа а может
быть любым заданным комплексным числом. Введя новую переменную т = it,
уравнение (3.1) можно записать в виде
(дх - дхх + а/х2) Ф (т, х) = 0. (4.1)
Легко видеть, что комплексная алгебра симметрий уравнения
(4.1) трехмерна и что в качестве элементов базиса можно взять операторы
/+ = Т2ат + тхдх + х/2 + *74,
/- == - дх, f = 1дх + 1/2хдх +'/", (4.2)
для которых имеют место соотношения коммутирования
[Л/*] = ±Л [/+,/"] = 2/°. (4.3)
Ниже мы покажем, что эта алгебра Ли изоморфна алгебре si(2, С). Поэтому,
вычисляя экспоненты операторов (4.2), можно с помощью операторов Т(Л),
AeSL(2, С), действующих на пространстве решений уравнения (4.1), получить
локальное представление группы SL(2, С). Более того, очевидно, что группа
SL(2, С) действует на алгебру симметрий si(2, С) посредством сопряженного
представления и разлагает эту алгебру на SL(2, С)-орбиты.
Непосредственные вычисления показывают, что в sl(2, С) существуют точно
две орбиты, представителями
2.4. Комплексное уравнение (дх - дхх + а/х2)Ф(х, х) - 0 155
которых являются операторы / и /°. (Две орбиты алгебры sl(2,R) (см.
(3.4)) с представителями /С_2 - Кг и /С0 принадле-жат орбите в si (2, С.)
с представителем /°, орбита же с представителем Кг принадлежит
комплексной орбите с представителем J~ (а также орбите с представителем
/+).) Подобным образом можно показать, что уравнение (4.1) допускает
решения с ^-разделенными переменными в точности в двух комплексных
аналитических системах координат. (Как обычно, мы считаем две системы
эквивалентными, если одну из них можно отобразить в другую при помощи
одного из операторов Т(Л), AeSL(2, С).) В табл. 10 представлены системы
координат, допускающие разделение переменных.
Таблица 10
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ДОПУСКАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСНОГО УРАВНЕНИЯ (дх - дхх +
а/х2) Ф = 0 С Я-P АЗ ДЕЛЕННЫМИ ПЕГЕМЕННЫМИ
Оператор J Координаты {и, v} Множитель R Решения с разделенными
переменными
1 Г X = U} Т " 0 Я = 1 Произведение функции Бесселя и
экспоненциальной функции
2 /° X = U Vo"> т = о Я = 1 Произведение многочлена Лагерра и
экспоненциальной функции
Для того чтобы вывести соотношения, связывающие различного рода решения
уравнения (4.1) с разделяющимися переменными, можно использовать метод
Вейснера и рассмотреть разложение произвольной аналитической функции в
ряд по функциям Лагерра (орбита 2). Эти результаты подробно описаны в
[83, гл. 5], и поэтому наше изложение будет весьма кратким.
Как подсказывает соотношение (3.16) и строка 2 табл. 10, решения
уравнения (4.1), выражающиеся через функции Лагерра, соответствуют
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed