Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
(Заметим, однако, что в (1.16) мы должны требовать выполнения условия х >
0.)
Группа SL(2, R) действует на sl(2,R) посредством сопряженного
представления и разбивает алгебру Ли на орбиты. Пусть
' К = а2К2 + ct_2K_2 + а0К° е si (2, R),
и пусть а => а2а_2 + Легко проверить, что а инвариантно относительно
сопряженного действия и что К лежит на той же
i 48 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
SL(2, R) -орбите, что и один из следующих трех операторов:
Случай 1 (а < 0) К_2 - К2 = L3'>
Случай 2 (а > 0) К0', (3.4)
Случай 3 (а = 0) /Сг.
Таким образом, имеется три орбиты.
Все системы координат, допускающие решения уравнения
(3.1) с /^-разделенными переменными, легко определяются в силу того, что
системы, допускающие /^-разделение переменных, должны также допускать /^-
разделение переменных и для уравнения свободной частицы (когда в (3.1) а
= 0). Таким образом, возможными системами координат являются указанные в
табл. 6 системы, которые должны удовлетворять дополнительному требованию,
а именно должны допускать решения с /?-раз-деленными переменными и тогда,
когда к гамильтониану свободной частицы добавляется потенциал а/х2. Мы
видим, что при этом теряется только орбита 2 табл. 6. Результаты
приводятся в табл. 9, причем, как обычно, / = v.
Заметим, что для каждой из орбит 1 и 2 мы привели по две системы
координат: хотя эти системы и эквивалентны относи-
Таблица 9
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ДОПУСКАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (idt + дхх - а/х1) ? (/,
х) - 0 С "-РАЗДЕЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
" " , " iX Решения с разделенными
Оператор К Координаты (и, о) Множитель /? = е'л переменными
\ а К 2 х = и Я*=0 Произведение функции
Бесселя и экспонен-
циальной функции
16 Кг x = uv Я=иго/4 Произведение функции
Бесселя и экспонен-
циальной функции
2а К° х = ил/о Я = 0 Произведение функции
Уиттекера и экспоненциальной функции
26 К2 + К_2 х = и\± (1-о2)]1/2 Я=±иго/4 Произведение функции "
Уиттекера и экспонен-
циальной функции
3 К2-К 2 * = " (1 + о2)1/2 Я = ы2о/4
Произведение функции
Лагерра и экспоненциальной функции
2.3. Уравнение Шредингера (idt + дхх - а/*5)'У = 0 149
тельно SL(2,R), они не эквивалентны относительно подгруппы "очевидных
операторов симметрии", порожденной сдвигами по времени и растяжениями.
Связь между этими операторами описывается соотношениями
1(К2 + К_2)Г1=К°, ]2K_J~2 = -K2, (3.5)
где / и Я даются формулами (1.21) и (1.22).
По аналогии с рассуждениями разд. 2.1 операторы (3.2) можно
интерпретировать как операторы, образующие алгебру Ли кососимметрических
операторов в гильбертовом пространстве L2(R+) комплекснозначных
интегрируемых с квадратом по Лебегу функций, определенных на
положительной вещественной полуоси 0 < х < оо. Это достигается тем, что
мы заменяем в выражениях (3.2) dt на idxx - ia/x2 и рассматриваем t как
фиксированный параметр. Если полученные операторы умножить на i и
рассматривать на множестве бесконечно дифференцируемых функций с
компактным носителем в /?+, то по теореме Вейля (см. [119]) эти операторы
будут самосопряженными, если а ^ 3Д. В дальнейшем в этом разделе будем
считать последнее условие выполненным. Нетрудно видеть, что
рассматриваемые операторы являются вещественными линейными комбинациями
кососимметрических операторов
yf_2 = idxx - ialx2, Ж2 = ix2j\, К0 = хдх + Чг, (3.6)
к которым они сводятся при t = 0. Аналогичным образом кососимметрические
операторы
9? 1 = Жй = хдх + '/г. 5^2 = Ж_2 + Ж2 = idxx - ia/x2 + ix2!4,
9Вг = Ж_2 -Ж2 = idxx - ia/x2 - ix2/4 (3'7)
удовлетворяют соотношениям (3.3); А/ сводится к S'/ при t -0. По аналогии
с (1.26) находим, что
ехр (tЖ_2) Жi ехр (- 1Ж_2) = Kj,
ехр ЦЖ_2) 9?] ехр (- 1Ж_2) = Lj,
где ехр(^-а)-унитарный оператор в L2(R+). Поэтому для произвольной / е
L2(R+) функция 4r(^,x) = exp(rJf_2)f(^) удовлетворяет уравнению = Ж^У,
или id/V = - +
+ ЧАг/х2, и условию V (0, л:) = f (х). Итак, унитарные операторы ехр(Я) =
exp(^_2)exp(J{f)exp(- 1Ж-2), Ж<=яЦ2, R) отображают решения уравнения df?
= Ж. АЕ в решения
Ниже мы докажем, что операторы Ж±2. Ж0 порождают глобальное унитарное
неприводимое представление универсальной
накрывающей группы SL(2,R) группы SL(2,R) при помощи
операторов U(g), g е SL(2, R), определенных на L2(R+)\ соотношения (1.37)
- (1.40) определяют параметризацию SL(2,R).
ISO Г л. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Принимая это во внимание, мы видим, что операторы T(g) = = ехр (tX-2) U
(g)exp(-tX-2) определяют группу унитарных симметрий уравнения (3.1) с
соответствующим инфинитезималь-ным оператором К = ехр^Ж-2)Ж ехр(-/JJ?_2).
Это замечание устанавливает связь между нашей алгеброй Ли операторов Ж и
уравнением Шредингера для изотропной свободной частицы.
Теперь рассмотрим оператор j?3 е sl(2,R). Если /е Z.2 (R+), то функция
^{t, х) = ехр (t3?z)f{x) удовлетворяет уравнению д1х? = 3?зх?, или id^ =-
дххУаЧ/х2х2х?/4, т. е. уравнению Шредингера для изотропного
гармонического осциллятора. Унитарные операторы V(g)=exp(/j?3)ll (g)exp(-
