Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
координатам {s, г), где
s = т, г10=3 - *2/4т. (4.4)
Преобразуем для удобства уравнение (4.1), которое мы записываем в виде QY
= 0, к эквивалентному виду Q'Y' = 0, где 'К' = R~lV = sI/4zP4r и Q' =
R~lQR. Алгебра симметрии нового уравнения образована операторами J' =
R~lJR, где J принадлежит алгебре симметрии уравнения (4.1). Явный вид
этих one-
156 Г л. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
раторов дается следующими соотношениями:
/+ = s2ds + szdz - sz - Is, j'~ = - ds + - дг - t/s, j'°=sds,
(4.5)
P = / + V 4, a==4(V.6-/2), IsC.
Дифференциальное уравнение Q,XF' = 0 запишется следующим образом:
\гдгг - (21 + г)дг + Sds + /] Ч" (z, s) = 0. (4.6)
(Ниже штрих будет опущен, поскольку мы будем иметь дело только с
операторами (4.5) и уравнением (4.6).)
Теперь рассмотрим решения 'F уравнения (4.6), которые яв* ляются
собственными функциями оператора /°:
/°хр = у = fm (Z) sm.
Подставив это решение в (4.6) и разделив результат на sm, получим
обыкновенное дифференциальное уравнение вида (Б.7). Таким образом, fm(z)
являются конфлюентными гипергеометри-ческими функциями. В частности,
функции вида
'Fmte, s) = Lttlr1)(z)sm (4.7)
удовлетворяют этим уравнениям.
Заметим, что при /е.С., 21Ф0, 1, 2, и m = - / + п, п - 0, 1, 2, ,
решения 'Fm хорошо известны и сводятся к
многочленам от 2, т. е. многочленам Лагерра L{n2l~X) (г) (см. (B.9i)).
Чтобы выяснить значение этих полиномиальных решений, рассмотрим систему
уравнений
/~Ф = 0, /°Ф = - /Ф,
решение которой Ф(г, s) = s~l единственно с точностью до
мультипликативной константы. Легко проверить, что Ф также удовлетворяет
уравнению (4.6). Зная алгебру симметрии уравнения (4.6), можно построить
новые решения. Если Ф(г, s)-произвольная аналитическая функция от 2 и s,
то простое следствие теории Ли дает соотношение
ехр (а/+) Ф (2, s) = (1 - as)1 ехр [- (Г1^-] Ф (у^ •
= ?^-(/+)"ф(2, s), I as | < 1. (4.8)
n-0
Кроме того, если Ф - решение уравнения (4.1), то (/+)"Ф и ехр (а/+\Ф-
также решения, коль скоро они определены. Под-
2.4. Комплексное уравнение (дх- дхх + ajx2)Ф(т, х) = 0 157
ставляя в (4.8) наше решение Ф = s-', получаем
ОО
(1 - as)2*s_,exp[- azs/( 1 - as)] = ? а"Ф" (г, s), г +V. Я"°
Фп = (1//г!) (/ ) Ф, Фо = Ф, | as | < 1.
На основании определения Ф" и соотношений коммутирования
(4.3) простое вычисление с применением индукции дает рекуррентные
соотношения
/фп=(п_/)фп) /+фяцл+1)фя+1) ГФп=(21-п+1)Фп_и (4.9)
Ф_1 =0, п = 0, 1, 2, ... .
Далее, сравнивая эти результаты с рекуррентными формулами (Б.8) и
учитывая, что Ф0 = 5-', получаем
Фn(z,s) = 'i'n-i(z,s)=:Lin-2,-1)(z)sn-t, п = 0,1,2,.... (4.10)
Таким образом, (4.8') приводит к производящей функции для многочленов
Лагерра:
(1 - а)2'ехр[-аг/(1 - a)]= X a"U_2'~1)(2:), |а|<1. (4.11)
п-0
Для того чтобы вывести еще несколько тождеств для многочленов Лагерра,
нужно найти операторы Т(Л), определяющие действие локальной группы
симметрии SL(2, С) на пространство решений уравнения (4.6). Напомним, что
SL(2, С) является комплексной группой Ли комплексных (2 X 2)-матриц Л с
детерминантом +1:
( а b \
А = I I, a,b,c,d^ С, acL - bc=\. \ с d )
(4.12)
Алгебра Ли sl(2, С) этой группы, как известно, состоит из всех
комплексных (2 X 2)-матриц Л с нулевым следом
Л"(" _")• "•S-',sC-
В качестве базиса алгебры sl(2,[G) можно принять матрицы
?ч111лл
(4.13)
удовлетворяющие следующим соотношениям коммутирования;
158 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Поскольку эти соотношения совпадают с соотношениями (4.3)', алгебра
симметрии уравнения (4.1) изоморфна алгебре s/(2, LCj).
Простыми вычислениями (см. [83, разд. 1.4]) можно показать, что если
AeSL(2, .С ) имеет вид (4.12) и й ф 0, то
А = ехр (р/+) ехр (yf~) ехр (т/°),
а (4.14)
е =d , ft = - Ь/d, у = - cd.
Эти соотношения помогают параметризовать окрестность единицы в SL(2, С.).
Теперь вычислим экспоненты операторов (4.5), с тем чтобы найти
соответствующее локальное представление группы SL(2, С) посредством
операторов Т(Л), действующих на аналитические функции Ф(г, s). В
соответствии с (4.14) имеем
Т (А) = ехр(- (Ь/d) /+)ехр(- cdJ~)exр(- 2(In d) J°) (4.15)
для элемента А, лежащего в малой окрестности единичного элемента.
Результат вычисления ехр(а/+) дается формулой
(4.8). Аналогичные вычисления дают
exp(v/_)0(z, s^ = (l - \/s)' s~ y).
exp (т/°) Ф (z, s) = Ф (z, exs).
Взяв композицию этих операторов, получим Т (Л) Ф (г. s) = (d + bs)' (о +
-J-)1 ехр ] X
ХФ(("+"(" + ",) ¦ Ш)- |lH < '¦ |т| < '¦ "'¦">
причем оператор Т(Л) определен для всех таких аналитических функций Ф(г,
s), для которых правая часть имеет смысл. Заметим, что Т(А) отображает
аналитические решения уравнения (4.6) в решения же.
Применим оператор Т(А) к Фт и результат разложим по элементам базиса
{Ф.}:
Т (А) Фт (z, s) = Z Тпт (А) Ф" (г, s). (4.17)
л-0
Если матрица А близка к единичной, то матричные элементу Тпт(А) можно
определить непосредственно из соотношений
(4.9). Вычисления упрощаются, если построить иную модель представления
