Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 61

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 122 >> Следующая

находим, что а инвариантно относительно сопряженного представления.
Приведенный ниже список является полным множеством представителей орбит в
том смысле, что каждый оператор К ф 0 лежит на одной бз-орбите в точности
с одним из перечисленных в этом списке операторов:
Случай 1 (а < 0) К_2-К2 + Р2/И, 1Р1=тМ, Д_2-К2 + М+уВи Случай 2 (а > 0)
D--ЫШ, (5.12)
Случай 3 (а = 0) К2+М, К2+Р\, К2, М, В, + В2, В,.
Теперь рассмотрим задачу определения дифференциальных операторов 5 более
высокого порядка, которые являются симметриями уравнения (5.2).
Специальная структура уравнения
(5.2) позволяет нам несколько упростить эту задачу! Поскольку мы всего
лишь применяем оператор 5 к решениям Y уравнения Q'P = 0, без потери
общности можно потребовать, чтобы 5 совсем не содержал производных по /.
Иначе говоря, каждый раз, когда в 5 появляется оператор д,, его можно
заменить на
166 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
i (djc.jc, + дХ1хХ К этому вопросу можно подойти с иной точки зрения,
заметив, что если 5 - оператор симметрии, то и S' = = 5 + XQ, где X -
произвольный дифференциальный оператор, также является оператором
симметрии. Более того, для любого решения Ч*- уравнения (5.2) выполняется
соотношение 5м? = = Имеется единственный такой выбор X, что оператор S'
не содержит производных по t.
Учитывая сказанное выше, мы видим, что только операторы Р/, В/, Е,
порождающие алгебру Вейля, и оператор М являются дифференциальными
операторами порядка не выше первого по переменной лу. Операторы К2 = - /
(Si + S2), К-2 = / (Pi + Р2) и D = -/[{Si, Pi} + {S2, P2}] имеют второй
порядок. (Эти pa* венства справедливы с учетом замены dt на / (<3*,*, +
дх,х,).) Вообще говоря, можно вычислить все операторы симметрии S2
порядка не выше второго по переменным х\ и х2:
2 2
s= Z ац(х, t)dx.x, + Z М*> t)dx. + c(x, t).
1. /"1 1 1=1 1
Довольно утомительные вычисления показывают, что такие операторы образуют
двадцатимерное векторное пространство. Базис такого пространства
образован оператором нулевого порядка Е, пятью операторами первого
порядка Р/, В/, М и тремя перечисленными ранее операторами второго
порядка iK+2, iE> плюс одиннадцать операторов второго порядка
В1-В2, В1Р1-В2Р2, Р\-РЪ {Si, М), {В2, М), {РиМ},
{Р2, М), В{В2, Р{Р2, В{Р2 + S2Pi, М2. (5.13)
Следовательно, все симметрии второго порядка суть симметрические
квадратичные формы от В/, Pj, ? и М.
Задача об /^-разделении переменных для уравнения (5.2) была решена в
[23]. Здесь мы рассмотрим только те системы, которые не просто допускают
решения с P-разделенными переменными, но обладают еще и тем свойством,
что любое допустимое решение состоит из произведения трех сомножителей,
каждый из которых удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
по своей переменной. Поскольку (5.2) - уравнение с тремя переменными,
теперь мы имеем две константы разделения, которые связаны с каждой
системой координат, допускающей разделение переменных.
Связь между орбитами симметрий первого порядка (5.12) и системами
координат, допускающими разделение переменных, теперь довольно слабая.
Правда, можно найти новую (не единственную) систему координат {и, и, w},
соответствующую любому оператору симметрии первого порядка К и такую, что
переменную и можно выделить из уравнения (5.2) (см. аналогия-
2.5. Уравнение Шредингера (idt + дхх -f dyy)^V == 0 167
ные рассуждения относительно уравнения Гельмгольца в разд. 1.2). Однако
получающееся при этом уравнение относительно переменных v, w может и не
допускать разделения этих переменных. Следовательно, диагонализация
оператора симметрии К может соответствовать частичному, а не полному
разделению переменных.
Рассмотрим результаты, полученные в [23]. Можно найти пару
дифференциальных операторов К и S, соответствующих каждому ^-разделению
переменных для уравнения (5.2) и таких, что
1) К и 5 суть операторы симметрии уравнения (5.2) и [K,SJ=0;
2) К&.зз, т. е. К - оператор первого порядка по переменным Х\, х2 и /;
3) 5 - оператор второго порядка по переменным х\, х2 и не содержит членов
с dt.
Для /^-разделения переменных необходимо, чтобы одновременно выполнялись
уравнения
<2Ф = 0, K'? = ik'?, 5Ф = цФ, (5.14)
где собственные значения Я и ц - обычные константы разделения для решений
Ф с /^-разделенными переменными.
Следовательно, К принадлежит алгебре симметрии §3, а оператор S можно
представить как симметричную квадратичную форму относительно В/, Pj, Е и
М. Таким образом, возможные системы координат, в которых уравнение (5.2)
имеет решения с /^-разделенными переменными, можно всегда
охарактеризовать при помощи уравнений для собственных функций операторов
не выше второго порядка в обвертывающей алгебре алгебры &3. В табл. 12
перечислены возможные коммутирующие операторы К, S, системы координат {и,
v, w}, допускающие /?-разделение переменных, и решения с разделенными
переменными.
Следует сказать несколько слов относительно обозначений, введенных нами
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed