Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
элементы Tnm(g). В случае, когда g близко к единичному элементу, эти
матричные элементы можно вычислить, пользуясь непосредственно
соотношениями (2.28)^" (2.30) и (2.33), установленными при помощи алгебры
Ли.
Чтобы выполнить эти вычисления, удобно построить более простую модель
представления алгебры Ли. Возьмем fn(w) = = wn и введем операторы
"¦-"• н"
Эти операторы удовлетворяют тем же соотношениям коммутирования, что и
базис алгебры а их действие на базисные функции fn(w) совпадает с
действием на базис Фп, описываемым формулами (2.28) - (2.30) и (2.33). На
основе этой модели определяем матричные элементы Tnm(a, Р) и Rnm (а. Р):
ОО
ехр (аHi) ехр (РH2)fm (w) = Е Тпп (а, Р) /" (ву), (2.36a)
гс-0
00
ехр (atf i) ехр (P# _i) fm (ву) = Е Rnm (а. Р) !п ("")• (2.366)
л-0
Иначе говоря, мы применяем операторы группы ехр(аЯ)ехр(рЯ') к базисной
функции wm и полученную функцию разлагаем в степенной ряд в окрестности
точки w - 0. Эти матричные элементы не зависят от модели. Подсчитаем их,
используя простую модель (2.35), а затем применим полученные результаты к
уравнению теплопроводности. Элементарные факты теории Ли дают соотношения
w2,
1 d2
4 dw2
(2.35)
ехр (аН{) / (w) = ехр (аву) / (ву), ехр (РЯ2) / (ву) = ехр (РаЯ) / (ву),
ехр (рЯ_ j) f(w) = f(w + p/2).
142 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Таким образом, формулы (2.36) принимают вид
ОО
ехр (<ш + Рш2) = 2 Tnm (а, р) wn~m, (2.37a)
ехр (aw) (w + P/2)m = Z Rnm (a, p) wn. (2.376)
л-*0
Это известные производящие функции (2.32) и (7.30), причем < " /¦ to
\ п>т.
I 0, n < т; (2.38)
Я(tm) (а, Р) = (!)т~Л Ь(Гп) (^) ,
где L^(z) - многочлен JIareppa (см. (B.9i)).
Теперь вычислим экспоненты оператора (2.23). В дополнение к формуле
(2.27) получаем
ехр(аЯ2)Ф(г, з) = (1 + 4as2)~1/2 ехр ( ) X
X°[(l+L2)1/2 ' (i+4as*)1/S]' |4as2|<1'
ехр(рЯ.2)Ф(г, а),ф[_^., S(l-^)'/2], | P/4s21 < 1,
екр (yH-i)0(z, в) = Ф(г+y/4s, s), exp (6Я°) Ф (z, s) = exp (6/2) Ф (z,
ess),
exp (срЯ0) Ф (z, з) = еч,Ф(2, s). (2.39)
Подставляя (2.38) и (2.39) в (2.36), после некоторых упрощений
находим
/1 ,gr(m+D/2 Г 2zsct - (г2 + a2) s2 1 " / z-sa \
U S) PL 1-s2 JMu-sW
ОО
= E T Я"(a) я"+"(г)' 151 < 1 ' (2-40а>
л-0
ехр (- s2a2 - 2zsa) Нт (z + sa - p/s) sm ==
= Z (- РГ"" l^n~n) (- ap) Hn (z) sn. (2.406)
4-0
2.2. Уравнение теплопроводности (dt - = 0 143
Формула (2.40а) является обобщением теоремы Мелера [17], к которой она
сводится в случае т = 0 (Я0(г) = 1) :
(1 -з2Г,/2ехр [2zSa~(l2sta2'Я = (") Нп (г), (2.41)
л-0
|s|<l.
При Р = 0, s=l формула (2.406) упрощается и сводится к со-отношению
ОО
(-<
Л-0
а при a = 0, s=l эта формула приводит к соотношению
ехр (- а2 - 2га) Яш (г + а) = ? Нт+п (г), (2.42)
т
Нт(г-(r) = ?((tm)Ут~ПН"М' <2-43)
/ т \
где [ I - биномиальный коэффициент (см. (Б.1)). Вычисляя дополнительные
матричные элементы Tmn(g), g^Gtt м,ож-но получить ряд новых производящих
функций для многочленов Эрмита [35, 83].
Рассмотрим функции Эрмита - неполиномиальные решения комплексного
уравнения теплопроводности, т. е. собственные функции Ф n(z,s), (2.25),
при л s.С, пф 0,1,2, .... В частности, исследуем собственные функции
Ф* (z, s) = Нк (г) в\ ЯеС, (2.44)
где Я не является целым числом. Функция Фх удовлетворяет уравнениям
Я° Фк = (Я + >/2) Фъ = 0. (2.45)
Из соотношений коммутирования [Я0, Ht] =lHj, / = 0, ±1, ±2, вытекает, что
операторы Ht отображают решения уравнений (2.45), отвечающие собственному
значению Я, в решения, отвечающие собственному значению Я + j. В самом
деле, используя основные рекуррентные формулы (Б. 13), нетрудно показать,
что
Я_,ФХ = (Я/2) Фх_" Я_2фх = (Я/4) (Я - 1) Фк_2,
^Фх = Фх+ь Н2Фк = Фк+2, Н0 Ф* = Ф*. (2'46)
Эти соотношения подобны соотношениям (2.28), (2.29), (2.33), за
исключением того, что теперь Я - не целое число. Применяя
операторы Я/ к заданной функции Ф*, можно получить беско-
нечную последовательность решений Ф^+л, где п пробегает все целые числа,
144 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Для того чтобы изучить свойства преобразований этих решений под действием
группы G?, целесообразно рассмотреть операторы exp(a//i)exp(P//2),
exp(a#i)exp(p/f_i) и ехр(аЯ2)ехр(рЯ_2). (Действие произвольного элемента
группы можно представить в виде произведения трех таких операторов и
тривиального оператора ехр(уЯ°)ехр(бЯ0)-) Матричные эле* менты
определяются соотношениями
00
ехр(<хЯ1)ехр(рЯ2)Фх+т= Е ?""(<*, Р)Фх+", (2.47а)
Пт- 00
00
ехр (аЯi) ехр фН_1)Фх+т = Е Rnm(a, Р)Фх+л, (2.476)
гг " - оо 00
ехр(аЯ2)ехр(рЯ_2)Фх+т = Е Snm(a, Р)Фх+". (2.47в)
П*= -00
Из (2.46) легко видеть, что матричные элементы Тпт(a, Р)' тождественны
матричным элементам Тпт(a, Р) (см. (2.38)), за исключением того, что
теперь тип могут принимать отрицательные целые значения. Таким образом,
(2.47а) приводит к формуле, аналогичной (2.40а), в которой Нт заменено на
Н\+т, а Ят+п - на Нх+т+п, причем т принимает любые целые значения.
Теорема Мелера получает таким образом дальнейшее обобщение.
