Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
(2.2), ограничив их на пространство решений уравнения теплопроводности.
Поэтому в соотношениях (2.2) можно заменить dt на дхх и рассматривать t
(t ^ 0) как фиксированный параметр. Теперь операторы Н мы рассматриваем
как операторы симметрии для фиксированного времени t. При / = 0 эти
операторы имеют вид
Ж2 = г74, Жх = х/2, 380 " 1,
Ж_х = дх, Ж_2 = дхх, Ж = хдх + >/, (2Л4)
и, будучи ограниченными на пространство &~0 бесконечно дифференцируемых
функций f(x) на R, имеющих компактный носи-
136 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
тель, удовлетворяют обычным соотношениям коммутирования
(2.3).
Эта процедура становится более понятной, если заметить, что (2.12) можно
представить следующим образом:
? (/, х) = I* (f) = ехр (1дхх) f (х) = ехр (1Ж_2) f (х), f<=T0, (> О,
(2.15)
в результате чего получается аналогия с (1.25). Затем, инте-грируя по
частям, мы убеждаемся в том, что
Н ехр (1Ж_2) - ехр (1Ж_2) Ж, (2.16)
где Яе?2, а ^ получается из Я в результате подстановки t = 0. (Точнее,
если 4?(t, х) = If(f), то Hx?(t,x)= Р(Ж/).) Заметим, что (2.16)-аналог
формулы (1.26) с той лишь разницей, что теперь мы избегаем неограниченных
операторов ехр(-(Ж-2), t > 0. Теория, приводящая к (2.16), была, по-
видимому, впервые разработана Хида [133].
Подобным образом можно установить соотношение
ехр (аН) ехр (1Ж_2) = ехР (^-2) ехр (аЖ). (2.17)
Так же как и в предыдущем разделе, можно показать, что все уравнения
д/Т' (/, х) - (дхх -f ахдх -f bdx -f сх2 + dx + е)Ч? (t, х), (2.18)
а, ..., е<=R,
имеют алгебры симметрии, изоморфные алгебре % и что в действительности
все эти уравнения эквивалентны.
Приведем пример, предложенный Розенкрансом [115], который рассмотрел эту
эквивалентность и показал, как ею можно воспользоваться для решения
задачи Коши для каждого из уравнений (2.18). (Мы приведем формальные
рассуждения; строгая проверка полученного результата не составит труда.)
Найдем ограниченное решение Ф(^, х) уравнения теплопроводности с линейным
сносом
д<Ф = - kxdx<b, k > 0 (2.19)
для всех t > 0, такое, что Ф(0, х)= f(x), где функция f(x) ограничена и
непрерывна на вещественной оси. Формулу (2.19) можно представить в виде
<Э*Ф = (Ж_2 - кЖ -f (k/2) Ж0) Ф, Ф (0, х) = f (х),
или
Ф (/, х) = ехр [f (Ж_2 ~ кЖ° + (k/2) ж)] f (X).
Так как операторы Ж удовлетворяют тем же соотношениям коммутирования, что
и операторы Н, мы можем, используя вы*
2.2. Уравнение теплопроводности (dt - длДФ = 0 137
ражения (2.7) и закон группового умножения в SL(2,R), вычислить
произведение экспонент операторов Ж~2, Ж0, Жо- Находим
ехр {/ [Ж_2 - кЖ° + (k/2) Ж0]} =
= ехр [(tk/2) Ж0] ехр (- ОгЖо) ехр {[(1 - e~2kt)/(2k)\ Ж_2) =
= ехр [(tk/2) Ж0] ехр {[(e2kt - \)/(2k)\ Ж_2) ехр (- ИгЖ°). (2.20)
Из (2.12), (2.15) и соотношения
ехр (- (1гЖ0) h (х) = ехр (- tk/2) h (ехр (- tk) х)
(которое легко проверить) получаем решение задачи Коши для уравнения
(2.19):
Ф (<,*) = { -f - II - ехр (-2*01}'":X
- ОО
Теперь изучим комплексное уравнение теплопроводности, т. е. уравнение
(2.1) в предположении, что t их принимают комплексные значения. Легко
показать, что алгебра *§\ симметрий этого уравнения шестимерна, причем ее
базис дается формулами (2.2), а соотношения коммутирования имеют вид
(2.3). Но теперь алгебра Ли образована всеми комплексными линейными
комбинациями элементов базиса. Можно перейти к экспонентам элементов
алгебры &2, чтобы получить локальную группу Ли G2 операторов, действующих
на пространстве ST. функций Ч^, я), аналитических в некоторой заданной
области 2) комплексной плоскости (x,t). Действие этой группы определяется
формулами (2.4) - (2.9), в которых параметры и, V, р могут принимать
произвольные комплексные значения, а (а р\
матрицы А= ^ теперь могут быть произвольными эле-
ментами группы SL(2, С) всех комплексных матриц с детерминантом, равным
1: а, р, у, бе.С, "6 - 07 = 1. Как обычно, операторы T(g), g е G2,
отображают решения комплексного уравнения теплопроводности в решения.
Кроме того, G2 действует на алгебру Ли производных Ли посредством
сопряженного представления
H-+He=*T(g)HT-l(g)
и разбивает $2 (так же как и ^/{Яо}) на б^-орбиты. Нетрудно показать, что
в 91/(Но) существуют в точности четыре орбиты
138 Г л. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
с представителями Н°, tf_2-ftfи Я_2, Н-/. (Различные орбиты в $2/{Но} с
представителями Н° и tf2-f-tf_2 становятся эквива-. лентными, когда
группа G2 при помощи комплексификации расширяется до группы G$.)
Поскольку Я_2=(Я_i)2, когда эти операторы действуют на решения
комплексного уравнения теплопроводности, существуют только, три
допускающие /^-разделение переменных системы координат, которые
ассоциированы с четырьмя вышеуказанными орбитами. (Можно показать, что
эти системы являются единственными /^-разделимыми системами, допускаемыми
комплексным уравнением теплопроводности. Теперь допустимая система
координат [и, о} такова, что функции u(t,x), v(t,x) являются комплексными
