Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 54

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 122 >> Следующая

Для вычисления матричных элементов $nm(a, Р) выберем более простую
модель соотношений (2.46). Так, возьмем
hb+m{w) = wm, т = 0, ±1, ±2, ...,
Я"-1.
Тогда [Яь Я-i] = -'/аЯо, и в соответствии с (2.46)
Н lh\+m = ^х+т+ь Я_] Лх+т== ^Л+m-1*
В этой модели
ехр (аЯi) ехр (рЯ_,) hk+m (w) = ехр (aw) (1 + р/2ш)х+т wm =
00
= Е Rnm (а, Р) Wn. (2.48)
й*-00
Вычисляя коэффициент при шл, находим
Rnm (a, Р) = (P/2)m~" LT+nn) (- aP/2), (2.49)
где Z-iv) (z) - обобщенная функция Лагерра
.o(v;^)- <мо>
2.2. Уравнение теплопроводности (dt - дхх)Ф = 0 145
Таким образом, (2.476) принимает вид ехр (- s2а2 - 2zsa) HK+m (z + sa -
P/s) sm =
= E (-&)m~nLlm+~nn)(-a(r)Hk+n(z)sn, (2.51)
-oo
m = 0, ±1, ±2.......
Чтобы вычислить матричные элементы $Пт(ос, Р), выберем иную
X + т + 2
)wm, Н2 = H° = w
к - 1
модель:
К+т (w) = Г (
" _____________________
2w dw 2w2 *
Используя эти операторы, получаем ехр (аН2) ехр (РЯ_2) hK+m (w) =
X + т + 2
2 dw
- 4 1
, X + 2 9
+ ~2-(r)2,
-А, + у.
= г ^ (1 _ ааЯ)-(Х+т+2)/2 X
х(1 + а^;г)"+ш"да(>-"РГ"-,''!= - ? р)г(^+;+2)д>",
rte-оо
| аw21 < 1, | Р | < | (1 - аР) да21;
таким образом,
"г / оч _ (1-аР)(Х+т-1)/2а(п~т)/2 v олт la> Р) - г ((п - т + 2)12) А
(2.52)
Х2Л
- X п 2 1 - X - ш
2 ' 2 - af$
п - т + 2 1 - ар
L 2 -1
Snm (a. Р) = 0, если п - т
если п - т четное,
[етное. (2.53)
(Чтобы придать смысл этим выражениям при т> п, доста' точно
воспользоваться тем, что 2Fi(a, Ь\ с\ z)/T (с)-целая функция от с.)
Поэтому (2.47в) принимает вид
(1 + taT"+"+11B(l -ф-^Гч(тт5г) X
1 + 4as2
X Нх+т [z ((1 + 4as2) (1 - aP - P/(4s2)))"1/2] sm =
= ? $""(<*, P)tfx+n(z)s", | p/(l - op) |< f 4s2 J < |"
i-i
(2.54)
Теперь приведем пример простого применения метода Вейснера к случаю,
когда коэффициенты разложений по многочленам
146 Г л. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Эрмита нельзя вычислить только с использованием некоторой алгебры Ли.
Рассмотрим функцию ^(z, s) = ехр(-4Я_2)ФХ(2, s), где Фх определяется
формулами (2.25), (2.26), при условии, что А, = п е JC. и | s | < 1;
тогда
ОО
V (г, s) = #х [(1+"ji/2-] (1 + s2)X/2 = Z fl (г) S1, UK 1. (2.55)
(Заметим, что это разложение не является частным случаем (2.54).)
Поскольку Q4f = 0, отсюда следует, что для любого / имеет место
соотношение Q(fi(z)s') - 0; следовательно, fi(z) является линейной
комбинацией базисных функций Ф/ и Ф/ оператора Н°; см. (2.25). Более
того, поскольку #х(ш) -целая функция от w, из (2.55) следует, что fj(z)
содержит z в степени не выше z1, откуда f/ (z) = CjHj(z). Подставляя в
(2.55) z = w~\ s = wv и затем устремляя w к нулю, получаем
1-о
Однако частный случай (2.51) при р = --и, s=l, m = 0 дает
оо
Ях (Z + V) = ? ( к. ) Ях-/ (г) (2v)>, (2.56)
l-o ' 1 '
/АЛ
откуда ci = {j ) Ях-/ (0). Этот результат наводит на мысль, чго
существует более общая производящая функция. В самом деле, исследование
выражения ехр(4ш#_1- 4Я_2)Фх приводит к производящей функции
+ (2.57)
|s|<l.
Относительно вывода этого соотношения и многих других соотношений типа
производящих функций для многочленов Эрмита см. [35]; некоторые из
соотношений содержат разложения по базисам из функций Эйри.
2.3. Разделение переменных для уравнения Шредингера (tdt + dxx - a/xs)4
= 0
Применим метод, изложенный в разд. 2.1, к уравнению Шредингера для
изотропной свободной частицы
^Ч' = -3,*Ч' + ^Ч', (3.1)
2.3. Уравнение Шредингера (idt + дхх - а/х*)'# = 0 147
Здесь а - вещественная константа, отличная от нуля, t вещественно и х >
0. Как уже упоминалось в начале разд. 2.1, это уравнение получается, если
при некоторых значениях а > 0 в уравнении Шредингера для свободной
частицы, рассматриваемом в пространстве более высокой размерности,
перейти к сферическим координатам и затем отделить угловые переменные
(см., например, [72]). Здесь х = г - радиальная координата, а параметр а
принимает некоторые положительные значения. Мы покажем, что теоретико-
групповой анализ уравнения (3.1) естественно приводит к уравнениям
Шредингера для изотропного гармонического осциллятора и изотропного
репульсивного осциллятора. Таким образом, наш анализ уравнений (1.2) и
(3.1) охватит все семь потенциалов, перечисленных в табл. 5.
Прямые вычисления показывают, что комплексная алгебра симметрий уравнения
(3.1) трехмерна и элементами базиса являются операторы
K_2 = dt, К2 = - fdt - txdx - t/2 + ix2/4, К0 = 2tdt + хдх + '/2,
(3.2)
удовлетворяющие соотношениям коммутирования [К0, *±2] = ± 2К±2, [К2, К_2]
= К0.
Для иного базиса {Lj), где
Ll = К0, L2 = K_2 + K2, La = K_2-K2>
соотношения коммутирования принимают вид
[Lb Дг]= - 2Z-3, [Z-з, L{\ = 2L2, [L2, L2] = - 2Ьу. (3.3)
Сравнивая эти соотношения с (1.4), (1.5), (1.7), мы видим, что
вещественной алгеброй Ли, порождаемой этим базисом, является sl(2,R) и
что действие соответствующей локальной группы SL(2,R) на функции Ф((,х)
определяется оператором Т(Л) (см. (1.16)). Точное соответствие между
группой и операторами алгебры Ли определяется соотношениями (1.17).
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed