Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Фурье на единичной окружности. Например, из (Б.26)
оо
сегп+1 (ф. 9) = 721 ^2m+i){exp[t(2m +1)ф]+ехр[-/(2т+1)ф]).
О
Поскольку /^+1, С (ф) ^ Tt-1/2ce2ft+i (ф" я)> мы имеем
(/й+1 ff) = { А^' еСЛИ ,р, = 2т + 1' (3.52)
И ' v 0 в противном случае.
Остальные м. э. с. б. так же просты. Зная эти м. э. с. б., можно решение
типа цилиндрической волны записать в виде бесконечной суммы решений Матье
(3.41а), (3.416) или решение Матье представить в виде бесконечной суммы
цилиндрических волн (см. также [128]).
Теперь дадим пример теоремы сложения. Матричные элементы оператора T(g),
определенного формулой (3.2), относительно базиса Бесселя
{/(r)}> заданного формулой (3.13), имеют
вид
та. (в.*)=<твд>, /*>=
я
"= (2я)-1 ^ ехр [гш (a cos (ф-0) + b sin (ф-0))-гп0 + г (п-т) ф] t/ф,
-Я
g = g(0, а, Ъ). (3.53)
Полагая a = r cos a, 6 = rsina и вводя новую переменную Р = ф - 0 - а,
находим
Ттп(0, Ъ) =
Л
- (2n)~l ехр [i(n - т)а - imB] ^ ехр [гсог cos Р + i (п - т) 0] tfp.
-Я
Сравнивая этот интеграл с соотношениями (3.18), (3.19), мы в конечном
счете получаем
Ттп [0, Г, а] = in~m ехр [г (п - т) a - imB] /"_m (шг), К .
(о.о4>
a = r cos а, 6 = г sin а, п, т = 0, ±1, ±2, ....
Подставляя эти матричные элементы в формулы (3.44)--(3.46), мы получаем
ряд тождеств для функций Бесселя. (Более по-дробный анализ этих
результатов см. в [37, 83, 122].) Оказывается, теорема сложения для
базиса Бесселя является частным
74 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
случаем соотношения (3.44) при / = 2, так как
?{?(/-, 6) = (2я)1/2 Топ [0, г, 0].
И наконец, заметим, что плоская волна (3.7), (3.24)
Н (х, у, ф) = 'Рф1* (х, у) - ехр [г'ш (х cos ф + У sin ф)],
которую мы рассматриваем как функцию от ф, принадлежит пространству
L2(Si). Действительно, простое вычисление даег
<У'> (х), У{1) (х')> = 2л/о {(0 [(х - x'f + (у - y'fTY (3.55)
С другой стороны,
0F">(x), W>(x')) = Z<^1)(x), /<f>) (/</>, ^('>(х')> =
fl
= Е^(-х)^(-х'), (3.56)
п
что следует из формулы (3.7) и свойства полноты базиса {/J/*}. (И здесь
сумму по п можно заменить интегралом.) Сравнивая соотношения (3.55) и
(3.56), мы получаем для каждого / = - 1, 2, 3, 4 билинейное разложение
функций /о{со[(х - х')2 + + (у - у )2]1/2} по решениям уравнения
Гельмгольца с разделенными переменными.
Другие примеры разложений по решениям уравнения Гельмгольца см. в работе
[95].
1.4. Разделение переменных
для уравнения Клейна - Гордона
Метод, рассмотренный в предыдущем разделе, дает совершенно иные
результаты, если его применять к уравнению Клейна- Гордона в двумерном
пространстве-времени:
(ди-дхх + "?)Щи *) = 0. (4.1)
Здесь х и t-вещественные переменные, а со - положительная константа.
Поскольку мы подробно анализировали метод разделения переменных в
применении к уравнению Гельмгольца, мы довольно часто будем приводить
только конечные результаты, опуская необходимые вычисления.
Отбрасывая тривиальный единичный оператор, находим, что алгебра симметрии
уравнения (4.1) трехмерна с базисом
Р\ = ди Р2 = дх. М = - (дх - xdt (4.2)
и соотношениями коммутирования
\Ри Р2] = 0, [М,РХ) = РЦ, [М,Рг] = Рх. (4.3)
1.4. Разделение переменных для уравнения Клейна - Гордона 75
В качестве алгебры симметрии уравнения (4.1) мы берем ве-щественную
алгебру Ли <ЁГ(1, 1) с базисом (4.2). Используя элементы алгебры <%{\,\),
запишем уравнение (4.1) в виде
О?- Р1+и)ф = 0. (4.4)
Следовательно, на пространстве решений уравнения Клейна - Гордона Р\ - Р2
=- "2- Легко проверить, что любой элемент Ls^( 1,1) коммутирует с Р\ -
Р\, т. е. этот оператор находится в центре обвертывающей алгебры алгебры
1Г(1, 1).
Груцпой симметрии уравнения (4.1) является ?(1, 1), изоморфная группе
матриц
/ ch 0 - sh 0 0 \
g (0, а, Ь) = I - sh 0 ch 0 О I, - оо < 0, а, b < оо. (4.5)
\ а Ь 1 /
Групповое произведение имеет вид
g(0, a, b)g{W, а', Ь') =
= ?(0 + 0л> och 0' - b sh 0' + а', - a sh 0' + b ch 0' + b'). (4.6)
Группа симметрии ?(1, 1) действует, как группа преобразований в плоскости
(t,x): элемент группы g(0, а, Ь) отображает точку х = (t, х) в точку
xg = (/ch 0 - х sh 0 + а, - /sh 0 + xch 0 +?). (4.7)
(Заметим, что группа ?(1, 1) называется также группой Пуанкаре для
двумерного пространства-времени. Это связная группа преобразований,
сохраняющая расстояние s (специальной теории относительности) между двумя
точками х и х' пространства-времени
s2 = (/ - t'f - (х - х')2.
Читатель может легко проверить тот факт, что преобразования
(4.7) обладают этим свойством.) Нетрудно проверить, что x(?ig2) = (xgi)g2
Для Si, ?2<з?(1, 1) и что xg(Q, 0, 0) = х.
Базис алгебры Ли матричной группы ?(1,1) задается матрицами
/О 0 0\ /0 0 0\ /0 -1 0\
/>!= ООО, Р2 =Л ООО, М= -1 00, (4.8)
м о о/ \0 1 о/ \ о о о/
причем соотношения коммутирования идентичны (4.3). Образующие алгебры Ли
и матрицы (4.5) связаны (при помощи матричной экспоненты) следующим
соотношением:
g (0, a, b) = ехр (0М) ехр (aPi + ЬР3). (4,9)
76 Гл. 1. Уравнение Гельмгольцй
Соответствующее действие группы ?(1,1) на пространство аналитических
