Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Мы определили спектры и собственные базисы для четырех операторов,
характеризующих разделение переменных в уравнении (0.1), и, произведя их
расширение, найдем спектры всех операторов в ^(2>. Если два оператора в
этом пространстве унитарно эквивалентны под сопряженным действием группы
Е(2), то они имеют один и тот же спектр. Если один оператор является
вещественным кратным другого оператора, то спектр первого оператора
является тем же самым вещественным кратным спектра второго оператора.
Таким образом, вычисляя спектр одного из четырех вышеуказанных
операторов, мы фактически вычисляем спектр для всех операторов,
находящихся на одной орбите с заданным оператором.
В задачах, связанных с решением уравнения Гельмгольца, большое значение
имеет получение формул, дающих разложение базисной функции с
разделяющимися переменными в виде суммы или интеграла от базисных функций
УРт. Более общо, нам часто бывает необходимо применить евклидово
преобразование к УР)/* и затем осуществить разложение по базису {<}¦
Поскольку 36- гильбертово пространство, мы имеем
т (g) = Е(Т (в) 'Р'Д <0 <>, (3.42)
m
где сумма заменяется интегралом, если УРт- собственные функции
непрерывного спектра. Но по определению
(T(g)4'</>, VW) = <T (*)/">, f?>, (3.43)
и, следовательно, мы можем найти коэффициенты разложения в пространстве
Z.2(Si) вместо того, чтобы искать их в пространстве 36. Это в
значительной мере упрощает задачу. Далее, поскольку операторы Т(g) в
(3.43) определяют унитарное представление группы Е(2), их можно перенести
из левой части в правую часть скалярного произведения или разложить любым
способом, упрощающим вычисление интеграла в L2(Si); например,
1.3. Формулы разложения 71
При анализе выражений вида (3.42) полезно ввести новую терминологию
(которая будет принята в дальнейшем тексте настоящей книги). Для g = g(0,
0, 0) оператор T(g) является единичным оператором, а коэффициенты
разложения fW) условимся называть матричными элементами смешанных базисов
или сокращенно м. э. с. б.'). Для j = 1 и произвольного gе е Е (2)
формула (3.42) дает так называемую теорему сложения для базиса {ч^}, а
коэффициенты Т\Рп = (Т (g)fu\ называются матричными элементами оператора
T(g) в базисе
{Wn*}. Из соотношения Т (ggf) = Т (g) Т (gf) сразу вытекает тот факт, что
матричные элементы удовлетворяют тождествам
T(Z (gg') = Е Тт\ (g) fl\ (gf). (3.44)
k
Из унитарности оператора Т (g) следует соотношение
TZ(g~l) = fZ(g), (3.45)
и наконец, для g(0, 0, 0) == е имеем
TZ (е) = бтп. (3.46)
Если в (3.42) j I и g - произвольный элемент группы, то коэффициенты
разложения (3.43) будут также называться матричными элементами смешанных
базисов (для отличия общего случая от частного, когда g - е, мы не будем
пользоваться сокращением. - Ред.).
А теперь перейдем к рассмотрению некоторых разложений, представляющих
особый интерес. Из (3.22) имеем
Л
<f<Z fa) = S W (ф)s (ф - а) Жр = W ("). / = 2, 3, 4,
-Л
откуда
я
У)=* \ у)da, (3.47)
-Л
где - так называемое решение уравнения Гельмгольца типа плоской волны,
определяемое формулой (3.24). Заметим, что разложение по этим плоским
волнам есть не что иное, как
') В оригинале overlap functions. Фактически величины (fK\ {*?) являются
матричными элементами оператора перехода от базиса {'P^j к базису
Однако, чтобы различать эти величины и величины \Т
(g)
f$), за которыми закреплен термин "матричные элементы", мы предлагаем
Термин м. э. с. б. - Прим, ред,
72 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
соотношение (3.1), выписанное в базисе собственных функций "}•
Кроме того, имеем разложение
П1' (*. У)"= Z (№> W) Ч? = Z (о) Пл. (3.48)
где сумма заменяется интегралом, если {wjf}- континуальный собственный
базис. Теперь имеем разложение решения типа плоской волны по элементам
иного собственного базиса. Например, решения (3.19), выраженные через
функции Бесселя (/ = 2) и называемые решениями типа цилиндрической волны,
при подстановке в (3.48) дают тождество (3.20). Для / = 3 находим, что
ехр [/се (х cos а + г/ sin а)] =
00
"= (2я sin а)-1/2 J (ctg (а/2))'11 'тД (х, у) dp, 0 < а < я; (3.49)
00
сходный результат мы имеем и при ^-я < а < 0. В результате несложного (но
довольно утомительного) интегрирования мы получаем следующее соотношение:
П
(J12), /<з|>==(2яГ' 5^(1 +созФ),11/2-1'4(1 -С03ф)-,>/2-1/4йф== о
е= ехР Ня/2) 072 - ц)] г /1_ _ \ у я V2 \ 2 )
w Г (~1)пГ('/2+W р (Ч* + Чг - "I _ ,
Г(1/2 + Ф-") 2П\ 1+ф_я I 1
-)]
</^/"> = </", /Д>. (3.50;
которые дают м.э. с. б. для базиса Бесселя и базиса функций
параболического цилиндра. Итак, мы имеем разложение 00
(2я),/2 Пя (<ar) J [(/">, /Д ) W<3> (*, у) +
- 00
+ </Д /Д>П- (*, y)]rfi* (З-51)
цилиндрической волны по базису из параболических цилиндрических волн. М.
э. с. б. для базиса Матье (/ = 4) и базиса Бесселя находятся очень легко,
так как функции Матье ce"(<p, q),
, г (72-jp) р( /а-ф, 72 - "I Г(1 - - я) 2r'V. 1-/Ц-П
1.3. Формулы разложения 73
seH(<P. q) определяются своими коэффициентами Ат, Вт разложения в ряд
