Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
спектра оператора S, применим векторное преобразование Фурье
оо
& (Я) = ^ jH'j ^ = (2я)"1/2 J F (v) e<vX dv; (3.28)
обратное преобразование дается формулой
оо
F(v) = (2я)~1/2 J 9(X)e~(tm)dX. (3.29)
- оо
(О преобразовании Фурье см. [113].) Тогда, вводя скалярное произведение
оо
(9, 9) = \ (S+ (Я) §+ (Я) + (Я) (Я)) dl, (3.30)
- оо
мы получаем гильбертово пространство S' векторнозначных функций 9,таких,
что
(9, 9) = <F, G> = <f, g),
и S в S' принимает вид
S (9 (Я) = 2Ы9 (Я).
В заключение следует сказать, что оператор S = {М, Р2} можно расширить до
однозначно определенного самосопряженного оператора с непрерывным
спектром, двукратно покрывающим вещественную ось. Обобщенные собственные
функции оператора S в S' имеют вид
Переходя обратно в L2(Si), мы получаем обобщенные собственные функции
т / ч |(2я)_1/2(1+созфГ11*/2_1/4(1 - соэф)'^2-1^, 0<ф<я,
"+ 1о, -я<Ф<0,
(Ф) = (- ф). {М, р2} =-- 2^1, - оо < р < ОО,
(fZ' f%)=5 (I* - (fZ' fZ}=°- (3-31)
68 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Решение уравнения Гельмгольца, соответствующее [{?+, имеет вид
Л
'Гй- (х, У) - 1 (/$.) = 5 ехр [/со (х cos <р + у sin <р)] (ф) йф
==
О
= 7Г S ехр {г" [* (~) + -TfV] } ". (3-32)
COS ф = (Г1 - /)/(/"1 + /).
Поскольку 4^+ - собственная функция оператора {М, Р2} в пространстве Эв с
собственным значением 2ра>, в параболических координатах
* = 'А (I2 - Л2). У = Ь\
она должна быть решением с разделенными переменными или, точнее, должна
выражаться в виде суммы не более четырех линейно независимых решений с
разделенными переменными. Эти четыре решения кратны Uj(l)Vi(г|), /, / =
1, 2, где U/ и Vt образуют базисы решений для уравнений параболического
цилиндра (2.37) при &2 = 2ра. Таким образом, интеграл (3.32) определяется
с точностью до четырех констант, и эти константы можно найти, вычисляя
интеграл для различных частных случаев (например, для * = 0). Подробное
вычисление дает
r|) = [V2cos (грл)] 1[D/n_i/2(a|)D_/n_i/2(aT|) +
-Ь 7)tn-1/г( <Й) D- (ц_ i/г ( ол)]" (3.33)
где а = ехр(лг/4) (2со)1/2, а Dv(x) - функция параболического цилиндра
(Б.9). Кроме того, имеем
4^1 Й, Г|) = Ч$+ (6, - Г)). (3.34)
Орбита 4. 5 = М2 + d2P\
В этом случае S - (d2/dy2)-й2со2соз2ф на множестве 2) а czL2(Si).
Уравнение на собственные значения можно представить в виде Sf - kf, или
d2f/dy2 + (а - 2q cos 2ф) f - 0, a - - k - d2co2/2, q = d2co2/4.
(3.35)
Уравнение (3.35) является уравнением Матье (Б.25). В этом случае 5 не
имеет собственных функций в 30), но 5 можно единственным образом
расширить до некоторого симметрического оператора в пространстве дважды
непрерывно дифференцируемых функций f на Si. Тогда задача на собственные
значения для S сводится к обычной задаче Штурма - Лиувилля
1.3. Формулы разложения 69
[76, 103], и, как видно из приложения Б (разд. 8), имеется бесконечная
счетная последовательность собственных значений %п, стремящихся к - оо,
причем кратность каждого собственного значения равна единице.
Соответствующие собственные векторы имеют вид
fnc (*Р) = я_1/2сеп (ф, q), п - 0, 1, 2.....
/^(ф) = я-1/2зеп(ф, q), л=1, 2, ... . ^3'36^
Множество f<?l} образует о. н. базис в Z,2(Si):
(П /5ft) = t = s, с, </Я>, /?>) = 0. (3.37)
Решение уравнения Гельмгольца, соответствующее имеет вид
Я
ч"2 (*> у) = 1 (/52)= я_ 1/2 5ехр 1г<в cos ф + у sin ф^ се" (ф> у) d(p'
(3.38)
При вычислении этого интеграла мы используем тот факт, чго 'Fnc"-
собственная функция оператора М2 + d2P\ в Ж. Следовательно, этот интеграл
можно представить в виде суммы не более чем четырех членов, каждый из
которых является решением с разделенными переменными в эллиптических
координатах
x = dchacosP, // = dshasinp.
Далее, сравнивая (2.43) и (Б.25), мы находим при k2 - К = = -а - d2ш2/2,
что W{? удовлетворяет уравнению Матье по переменной р. Исследование
интеграла (3.38) показывает, что функция Ч^пс - периодическая по р с
периодом, равным 2л; следовательно,
<4"(a, р) = ?/(<*) сея(Р, <7), (3.39)
где U (а) удовлетворяет модифицированному уравнению Матье
d2U/da2 + (- а + 2<7 ch 2а) U = 0, (3.40)
которое получается из уравнения Матье (Б.25) подстановкой х = ia. В
зависимости от того, будет в (3.40) а - ап или а - - Ьп, это уравнение
имеет либо решение Ce"(a, q) = ce"(ta, q)\ либо решение Se"(a, q) =
ise"(ia, q) (см. (Б.26)), которые являются соответственно четной и
нечетной функциями от а и отличаются этим свойством симметрии.
Исследование интеграла (3.38) показывает, что он является четным по а;
следовательно,
'ГлсО*. P) = C"Ce"(a, q) cen (Р, q), п = 0, 1, ..., (3.41а)
70 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
где Сп - константа, определяемая по значению интеграла (3.38) при частных
значениях аргументов. Рассуждая подобным же образом, получаем
P)==S"Se"(a, <7)se"(P, q), 1, 2.... (3.416)
где Sn-некоторая константа. Заметим, что формулу (3.38) можно теперь
рассматривать как интегральное представление произведения функции Матье и
модифицированной функции Матье. (Функции Се" и Sen называются
модифицированными функциями Матье первого рода.)
