Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
приложение Б, разд. 5). Чтобы вычислить сп, воспользуемся тем фактом, что
коэффициент при гп в разложении (Б. 14) для Jп (ы/*) имеет вид (ш/2)"/"!.
Разлагая ехр (йог cos а) в степенной ряд по г, мы видим, что коэффициент
при гп в интегральном выражении (3.18) для Rn{r) имеет вид
(на)" С п /• u (2 я)1/2/;ш\п
---гт~.- \ cos а ехр (та) аа = - ( - ) .
(2я) ^ п! J п\ \ 2 )
-я
(Это легко получается из соотношения cos а = (eia + е~'а)/2 и соотношений
ортогональности (3.14).) Таким образом,
у(r) (г, 6) = г" (2л)1/2 Jn (иг) ехр (ш6). (3.19)
Следует также заметить, что Ч^п, согласно (3.17), является п-м
коэффициентом разложения Фурье функции
оо
ехр [гиг cos (ср -6)] = ? Ч(tm) (г, 6) f<n2> (Ф) ==
П= - оо
= Z гп7л (иг) ехр [in (6 - Ф)]. (3.20)
Я- -оо
Орбита 1. S = P\
Здесь так же, как и в предыдущем случае, достаточно найти спектральное
разложение для симметрического оператора iP2. Оператор iP2 = -и sin Ф
определен и является самосопряженным во всем гильбертовом пространстве
L2(Si). Ясно, что iP2 не имеет ни собственных значений, ни собственных
функций в обычном смысле, так как если iP2f = Xf, то /(<р) - 0, за
исключением самое, большее двух значений фь ф2, где X = -и sin ф/.
Я
Следовательно, (f, f)= ^ | f (<p) р dy = 0, и f не является соб-
-Я
ственной функцией. Но тем не менее iP2 имеет обобщенные собственные
функции fW (ф) = 6 (ф - а), - л ^ а < я, где
б(ф - а) = 6а(<р) -дельта-функция Дирака (совсем и не функция), формально
определяемая соотношением
Я
(h, 6а)= ^ Л(ф)6(ф - а)^ф==Л(а), (3.21)
-Я
причем h - произвольная бесконечно дифференцируемая функция,
принадлежащая L2(Si). (Точные определения обобщенных
1.3. Формулы разложения 65
собственных функций и анализ их связи со спектральной тео-рией см. в [42,
98].) Итак, мы имеем формальные соотношения
iP2f{a - - (r) sin a/g1, - я < а < я,
</g>, = б (а-а'). (3'22)
Когда а пробегает полуинтервал [-я, я), обобщенные собствен* ные значения
пробегают полуинтервал (-ш, со], покрывая дважды почти каждую точку. Мы
говорим, что спектр оператора iP2 непрерывен и покрывает полуинтервал (-
ш, ш] с кратностью, равной двум. Разложение произвольной функции h е
eL2(S1) по собственному базису {/g11} представляется инте-гралом
Я
h=\cjyda, ca = (h, /<") = /ф). (3.23)
- Я
Равенство Парсеваля принимает вид
Я Я
(h, h)= ^cacada = /г(a) pda.
- Я -Я
(Тривиальность этих формул объясняется тем, что оператор г'Р2 получен
нами в таком виде, что его спектральное разложение очевидно.)
Соответствующий оператор /Р2 в Ж определяется соотношением гР2 = idy и
унитарно эквивалентен оператору (3.22) в Z,2(Si). Соответствующий базис
обобщенных собственных функций {'Ка1} имеет следующий вид:
Я
^ (*> y)==I (fa) = 5 ехР [г(0 (х C0S ф + У sin ф)] 6 (ф "" а) ^ф -
-я
- ехр [гш (х cos а + у sin а)], - я<!а<я. (3.24)
Унитарная эквивалентность дает следующие соотношения:
iP2W^ = - со sin aWg", ('Kg', 'Kg)) = б (а - а'), (3.25)
а теорема разложения,
Я Я
W (х, у) = ^ c^g) (х, у) da- ^ са ехр [гш {х cos a + У sin a)] da,
- Я -Я
(3.26)
ca(V, f^)-h(a),
где Ч^Ж соответствует функции AeL3(Si), сводится к формуле (3.1).
66 Г л. 1. Уравнение Гельмгольца
Орбита 3. S = {М, Р2)
Здесь оператор {М, Р2} =-2ico sin <$(d/d<p)-t'co cos ф определен на
множестве бесконечно дифференцируемых функций из L2(5i), обращающихся в
нуль в окрестности Ф = 0, -л и я. Легко проверить, что оператор 5 в этой
области симметрический (и самосопряженный). Чтобы найти его
самосопряженное расширение, определим унитарное отображение U из L2(Si) в
^2 (R) (r) Li (R) следующим соотношением:
и/ <v)=F (")=(? J'j) = | sin Ф I1" (|* *J). cos 4>=th v. (3.27)
Таким образом, каждая функция f ^ L2(Sij ассоциируется с двумерным
вектором-столбцом с компонентами F±(v) =
= | sin ф | li2f± (cos ф) е Li (R). В данном случае
/_ (cos ф) = / (ф), - я < ф < О,
/+ (cos ф) = / (ф), 0<ф<я,
и L2(R)-гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом по
Лебегу на вещественной прямой R,
оо
^ | F (х) I2 dx < оо, со скалярным произведением (F, G)' =
- оо
оо
^ F(x)G(x)dx. (Мы рассматриваем Только те функции, кото-
- оо
рые в окрестности ф = 0 обращаются в нуль, так как коэффициент при
производной в выражении для 5 при ф "= 0 обращает* ся в нуль, т. е. 5 в ф
= 0 имеет особую точку.)
Введем
^ = ЫЯ)(r)МЯ)
- гильбертово пространство векторнозначных функций F(v), интегрируемых с
квадратом по Лебегу,
оо
F(v): J (IF+ (v) р +1 (v) I2)rfv < оо;
- оо
При этом скалярное произведение определяется соотношением
оо
(F, 0)*= J (F+ (v) G+ (v) + F_ (v) G_ (v)) dv, F, ОеЗ',
- оо
Легко проверить, что если F/ = U//, то </ь /2) = (F" F2>;
1.3. Формулы разложения 67
следовательно, U - несомненно унитарное преобразование из L2(Si) в
S. Оператор USU-1 в S, который мы также обозначим через S,
принимает вид SF(v) = 2ia>(d/dv)F(v). (Теперь
становится ясно, что, согласно квантовой теории, S унитарно эквивалентен
двум экземплярам оператора импульса.) Чтобы сделать очевидным вычисление
