Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
и (ii) покрывают плоскость (х, t) не полностью.
Этим мы завершили список систем координат, в которых возможно разделение
переменных и которые соответствуют орбитам операторов симметрии второго
порядка. Как показано в [54], все эти системы ортогональны в метрике
Минковского ds2 = dt2 - dx2, т. е. ds2 = gu {и, v)du2 + ?22 (м, v)dv2 для
всех систем координат {и, и} (системы 1-10). Кроме того, для уравнения
Клейна - Гордона эти системы являются единственными ортогональными
системами координат, в которых возможно разделение переменных.
82 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Таблица 2
ОПЕРАТОРЫ И КООРДИНАТЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
КЛЕЙНА - ГОРДОНА
л т, Решения с разделенными
Операторы Координаты переменными
1 4 PS* (Pi + p*f t, X Произведение экспонен-
цнальных функций
2 SM = M' t = и ch v. Произведение экспонен-
x = ushv цнальной функции и функции Бесселя
3 [M, P2} t = '/a ("J + v3), Произведение функций
x = uv параболического ци-
линдра
4 SD = {M, P,} t = uv. Произведение функций
**='/a("2 + V2) параболического ци-
линдра
б {M, Pi-P3} + (Pl+P2)2 t = l/3(u - v)2 + u + v, *=-'/* (и-1>)2 + И +
1> Произведение Эйри функций
6 M2 - P,Pa / + * = ch[(" - v)/2], t - x = sh [(и + v)/2]
Произведение Матье • функций
7 Sk = M' + (Pi+P2)2 t + x = 2 sh (и - v), Произведение
функций
t-x = eu+v Бесселя
8 Sb=M*-(P, + P2)2 t + x = 2ch(.u-v), Произведение функций
t-x = eu+v Бесселя
9 m2 + pI t = sh и ch v, Произведение функций
* 1 x = ch и sh v Матье
10 •VI2 -• P1, t = ch и ch v, Произведение функций
' 2 x = sh и sh v или t = COS U COS V, x = sin и sin V Матье
11 SE = {M, px-p2) Решений с разделенны-
ми переменными нет
Однако существуют и неортогональные системы координат, допускающие
разделение переменных; они получаются точно таким же способом, который мы
рассматривали в разд. 1.2 для уравнения Гельмгольца. Кроме того, мы
находим, что эти системы всегда соответствуют диагонализации оператора
симметрии первого порядка и что одному и тому же оператору соот*
1.5. Решения уравнения Клейна - Гордона 63
ветствует много различных систем. Мы не будем здесь останавливаться на
неортогональных системах и отсылаем читателя к работе [54], где этот
вопрос рассматривается подробно.
Результаты, полученные для ортогональных систем, представлены в табл. 2.
Заметим, что простые связи между системами координат, допускающими
разделение переменных, и орбитами операторов симметрии второго порядка,
установленные нами для уравнения Гельмгольца, нельзя полностью перенести
на уравнение Клейна - Гордона. Во-первых, системы координат 5 и 10 никак
не смогут покрыть плоскость (х, t) полностью. Во-вторых, мы показали, что
двенадцать из тринадцати орбит (4.21) в ^<2> соответствуют системам,
допускающим разделение переменных. Однако остается содержащая оператор SE
= {М, Р\ - Р2} орбита, которая, как мы покажем, не соответствует какой-
либо системе координат, допускающей разделение переменных.
Итак, нельзя установить взаимно однозначное соответствие между системами
координат, в которых переменные разделяются, и орбитами операторов
симметрии. Во всех известных нам случаях заданная система координат,
допускающая разделение переменных, соответствует некоторому оператору
симметрии либо второго, либо меньшего порядка. Однако заданный оператор
симметрии не обязательно соответствует какой-либо системе координат, в
которой переменные разделяются. Одна из основных проблем данной теории и
состоит в том, чтобы дать объяснение этому факту. В табл. 2 те операторы
S, которые будут нам встречаться в дальнейшем довольно часто, снабжены
для отличия нижними индексами (например, оператор Sм).
1.5. Формулы разложения
для решений уравнения Клейна - Гордона
Метод установления связей между различными решениями уравнения Клейна -
Гордона с разделенными переменными почти идентичен процедуре, примененной
нами в разд. 1.3 к уравнению Гельмгольца. Так, по аналогии с (3.1) мы
рассматриваем решения Ф(*,*) уравнения (4.1), которые можно представить в
виде
ОО
Ф (t, х) = 1.1. гп. ^ ехр [ш (/ ch у + х sh у)] h (у) dy - l (h), (5.1)
где h принадлежит гильбертову пространству L2(R) функций, интегрируемых с
квадратом по мере Лебега на вещественной
84 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
прямой:
ОО
\ I h{y) I2 dy < оо.
- оо
Скалярное произведение в этом пространстве имеет вид
оо
{hx, h2) = $ hi (у) h2 (у) dy, h/ e= L2 (R). (5.2)
- oo
(Замечание. Интеграл (5.1) может и не сходиться поточечно для
произвольного h^L2{R). Обозначение 1. i. ш. будет объяснено ниже.)
Действие группы ?(1,1) на решения уравнения Клейна - Гордона,
определяемое операторами T(g) согласно формулам
(4.7), (4.10), соответствует действию
Т (g) h {у) = ехр [too (a ch (у + 0) + b sh (у + 0))] h{y + 0), (5.3)
h€=L2{R), g{Q, a, b) е=?(1, 1),
группы ?(1, 1) в L2(R); т. е. T(g)<D = I{T(g)h), если Ф = I(h)\
Соответствующее действие алгебры Ли в L2{R) определяется операторами
