Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Р2 при условии, что имеет место тождество Р2 г* - р{, так как Р\ + Р\
54 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
соответствует нулевому оператору в ^(2)/q.) На основании сказанного выше
мы видим, что Е(2) действует на пространстве 92<-2'> при помощи
сопряженного представления и в результате этого действия 9,<-2'>
разбивается на орбиты одномерных подпространств. Поскольку {Li, L2}s =
{L\, Lf}, симметричные операторы второго порядка отображаются в
симметричные операторы второго порядка.
Мы уже видели, что каждая из четырех ортогональных систем координат,
допускающих разделение переменных для уравнения Гельмгольца, связана с
оператором симметрии S вида
S = аР\ + ЬРхР2 + сР\ + dM2 + e {М, PJ + f (М, Р2),
а f e=tf,
а следовательно, ис5е ^(2), где
S = (a-c)P21 + bPlP2 + dM2 + e{M, Pi} + f{M, Р2}. (2.45)
Если одна из систем координат {и, v} подвергается евклидову
преобразованию g, то она преобразуется в другую (эквивалентную)
ортогональную систему координат, допускающую разделение переменных и
связанную с оператором симметрии 5е. Далее, если две системы координат
связаны с операторами 5 и S' соответственно, где 5 =(5)', то возникающая
при разделении координат собственная функция 'Fa, S'Fa == k24k, оператора
5 удовлетворяет соотношению З'ЧД = [k2 -j-(a - а')<а2]ЧД. (Замечание: (Р2
+ Р2) 'Fa == - wVa.) Таким образом, операторы 5 и 5' имеют одни и те же
собственные функции, но спектр оператора S' получается сдвигом спектра
оператора 5 на фиксированное расстояние (а - а')а>2. Ясно, что системы
координат, допускающие разделение переменных для 5 и 5', эквивалентны. Из
этих замечаний и вычислений, выполненных нами ранее, видно, что каждая
ортогональная система координат, допускающая разделение переменных,
должна быть связана с одномерным подпространством операторов {сЗ} в
92(2'> (поскольку cS и 3 при сф 0, c^R соответствуют одним и тем же
координатам). Множество всех систем координат, получаемых из заданной
системы координат в результате действия группы Е(2), должно быть
ассоциировано с некоторой орбитой в ^(2).
Сделанные выше замечания подводят нас к задаче определения структуры
орбит пространства ^(2). Предположим, что операторы симметрии первого
порядка L\, L2, L% образуют базис в &(2). Для каждого ge?(2) можно найти
(3X3)-матрицу G, такую, что
Ll=to kiLk, /=1,2,3. (2.46)
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца 55
Отсюда сразу следует, что
{Lh, Lh)s = {Ll Ц} = t GklhGk,h{Lkl, Lki} (2.47)
k\, ft2(tm)l
является элементом множества 3. (Заметим, что L2 - = 72{L/, Lj}.) Теперь,
используя (2.46) и (2.18) - (2.20), можно найти по одному представителю
для каждой орбиты множе-ства З^К
Любой оператор S&3W можно единственным образом пред-ставить в виде
(2.46), принимая с = 0. Предположим, что d ф =?*=0. Применяя переносы
(2.18) и (2.19), можно S преобразовать к виду
а! Р2 + b'PiP2 + c'Pl + dM2,
т. е. можно выбрать эти переносы так, что коэффициенты при {М, Pi} и {М,
Р2} обратятся в нуль. Далее, применяя соответствующий поворот (2.20),
можно диагонализировать квадратичную форму PjPk, с тем чтобы получить
а"Р2 + с"Р\ + dM2 шв (а" - с") Р2 + dM2.
Возможны два случая: если а" = с", то S находится на той же орбите, что и
М2; если же а" ф с", то S находится на той же орбите, что и М2 + г2Р\, г
> 0.
Теперь предположим, что d - 0, а е2 + f2 > 0. Применяя подходящий поворот
(2.20), можно допустить, что е = 0, f ф 0. Выбирая затем надлежащие
переносы (2.18) и (2.19), можно преобразовать S к виду с{М, Р2}. Таким
образом, S будет находиться на той же орбите, что и {М, Р2}.
Предположим, наконец, что d - е = f - 0, а2 + Ь2 > 0. Тогда, выполнив
соответствующий поворот, можно диагонализировать квадратичную форму аР2 +
ЬР\Р2, с тем чтобы получить для S выражение
а'Р\ + Ь'Р\^{а' -Ь')Р\,
откуда следует, что S находится на той же орбите, что и Pi (или />!)•
Мы показали, что З2 содержит точно четыре орбиты с представителями
М2, М2 + r2P 1, {М, Р2}, Pi. (2.48)
Следовательно, между ортогональными системами координат, позволяющими
получить решения с разделенными переменными для уравнения Гельмгольца, и
орбитами в 3^ существует взаимно однозначное соответствие (см. табл. 1).
56 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Таблица 1
ОПЕРАТОРЫ И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ (Д2 + со2) ? = О
Оператор S Система координат Решения с разделенными
переменными
1 p2 Декартова Произведение экспонен
x, у циальных функций
2 M2 Полярная Произведение функции
х = г cos 0, у = г sin 9 Бесселя и экспонен-
циальной функции
3 {Af. P2) Параболическая Произведение функций
* = '/2(?2-ti2), г/ = in параболического ци-
линдра
4 Af2 + d2P? Эллиптическая Произведение функций
х = d. ch a cos р, , Матье
у =d sh а sin Р
1.3. Формулы разложения,
связывающие решения с разделенными переменными
Теперь покажем, как можно использовать связь между решениями с
разделенными переменными уравнения Гельмгольца и орбитами операторов
симметрии для установления свойств решений с разделенными переменными. В
