Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Калнинс находит три системы координат, подобные декартовым, которые
соответствуют указанным выше операторам. Однако мы рассмотрим только ту
систему координат, в которой все три оператора диагонализируются
одновременно. Такой системой является декартова система (^,х); решения с
разделенными переменными в этой системе имеют вид
Ф (t, х) = ехр [i (at + р*)], а2 - р2 = а2.
Система 2. 5М = М2
Этот оператор связан с полярными координатами
t - uchv, x=>ushu, 0^ц<сю, - оо < и < оо. (4.22)
Уравнения с разделенными переменными имеют вид
(iSr + ^ + ^A-O, (¦?-+**) Г-0, (4.23)
а их решения - вид
Фх = UV = Vй А (юн) еш, 5мФх = - т2Фг, (4.24)
где Jv(z) - решение уравнения Бесселя (Б. 16) при vJ = */4 - т2.
Параметризация (4.22) выделяет только ту часть плоскости
1.4. Разделение переменных для уравнения Клейна - Гордона 79
(x,t), которая определяется соотношениями / ± х > 0. Подобные координаты,
в которых происходит разделение переменных, можно определить и в
остальных трех квадрантах плоскости (x,t).
Система 3. Sd' = {М, Р2} = u2dvv - v2duu Этот оператор соответствует
координатам t = V2 {и2 + v2), x - uv, - оо < у < оо, 0^и<оо. (4.25)
Уравнения с разделенными переменными имеют вид
(-^ + со2"2 + соЛ)(/ = 0, (^. + со2п2 + соЯ)у = 0,
(4.26)
а их решения - вид
Фк=иу =
= Д/х-1)/2 (ei (1 +/) Vе0 и) d/2 (е2 (1 +0 Vе0 °)> (4.27)
Sd'(r)x = - соАФа,, 81, 82 = ± 1,
где Dv(z)-функция параболического цилиндра (,см. (В.9Ш)). Система 4. SD =
{М, Pi} = u2dov - v2duu Теперь мы имеем t = uv, х= !/г (и2 -f V2), - оо
< и < ос, 0 ^ v < оо. (4.28)
Все уравнения имеют такой же вид, как уравнения, представленные в системе
3, только здесь со каждый раз заменяется на iсо. (Заметим, что {М, Pi}
получается из {М, Р2), если выполнить взаимную замену х •"-*¦ t. В
результате этой замены уравнение Клейна - Гордона отображается в новое
уравнение подобного вида, в котором со заменяется на /со.)
Система 5. SA = {М, Pi - Р2} + (Pi + Р2)2 = (и + о)-1 (udV0 - vduu)
Этот оператор соответствует следующим координатам:
t= Чз (и - v)2 + и + v, х = - '/2 (и - v)2 + и -f v, (4.29)
- езо < U, V < оо;
решения с разделенными переменными принимают вид Фк = иу = (Ре1(")фе,(у),
е/ = ±1,
"*(r)Л="V ",м=(*+тГЧтг (*+тЛ •
80 Г л. 1. Уравнение Г ельмгольца
Система 6. S = М2 - PiP2 = 4(sh" - sh у)-1 (sh udvo - sh vduu)
Координаты, в которых переменные разделяются, таковы:
п, . и - V , ,Ы + У п , и - V . и + у
,.
2/ = ch-2-----Ь sh-2-• 2* = ch-^ sh-^-, (4.30)
- оо < и, v < оо, а уравнения с разделенными переменными принимают вид
+ (r)2 sh z + А,) ф (z) = 0, z = u, v. (4.31)
Это - вариант модифицированного уравнения Матье (3.40);
следовательно, решения с разделенными переменными являются произведениями
функций Матье. Здесь S<D* = 4MPV
Система 7. SK = М2 + (Pi + Р2)2 = (е2и + e2t,)_1 (e2vduu + e2udvv)
Координаты, допускающие разделение переменных, таковы: t = sh(u - v) +
'/2ea+v, х - sh(u - v) -'/2eu+vi (4.32)
- 00 < и, v < ОО.
Уравнения с разделенными переменными имеют вид
+ "2e2u + v2) 11 = °- (¦&- "2e2° - v2) К = 0, (4.33)
а их решения - вид
= /± v (юе") /± v (ia>ev), = v2(r)v*. (4.34)
Система 8. SB = М2 - (Pi + P2f = (e2v - е2иГ1 (e2vduu - e2udvv) Этому
оператору соответствуют координаты
t - ch (и - v) + 'keu+v, х = ch (и - v) - У2е"+',) (4.35)
- оо < и, v < оо,
очень похожие на координаты системы 7. Решения с разделенными переменными
имеют вид
= /± v (ffl?U) J± v (w6W), Sb(r)v!=:-V2(lv. (4.36)
Как отмечает Калнинс, даже инверсия пространства-времени не дает
возможности этим координатам покрыть всю плоскость (x,t).
Система 9. S = М2 + Р\ = (ch2 ы + sh2 у) (ch2 udvv + sh2 vduu)
Координаты, в которых переменные разделяются, таковы: (=sh"chy, * =
ch"sht>, - со < и, v < 00. (4.37)
1.4. Разделение переменных для уравнения Клейна - Гордона 81
Уравнения с разделенными переменными
(j^ + ~-c\i2u + x)u = Q, (^--^ch2t, + A)y = 0 (4.38)
являются вариантами модифицированного уравнения Матье (3.40). Решения с
разделенными переменными суть произведения функций Матье; здесь 5Фх = (А
- ю2/2)Фх.
Система 10. L = М2 - Р\ = (sh2a - sh2 b) (sh2 адьь - sh2 bdaa) -
= (sin2 a - sin2 P)_1 (sin2 P<9aa - sin2 adpp)
Здесь мы имеем две системы координат, допускающие разделение переменных,
которые покрывают непересекающиеся области плоскости (х, t). Первая из
них:
(i) / = chach6, x: = shash6, - оо < а < оо, (4.39)
0 ^ Ъ < оо.
Уравнения с разделенными переменными в этой системе имеют вид
(-^¦ + -1Tch2z +h - -^-)<p(z) = 0, z - a, b. (4.40)
Сравнение с уравнением (3.40) показывает, что решения с разделенными
переменными в этом случае являются произведениями модифицированных
функций Матье. Здесь /,ФХ = АФХ. Вторая система имеет вид
(ii) / = cosacos|3, x:=sinasinp, 0<а<2я, (4.41)
0<|3<я.
Уравнения с разделенными переменными записываются так:
(-?г - -y-c°s2z + А + -^-)ф(г) = 0, 2 = а, р. (4.42)
Это - уравнение Матье, и решениями с разделенными переменными являются
произведения функций Матье. Здесь /,ФХ = АФХ. Заметим, что координаты (i)
