Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
свойством, что = /(/i) является тождественно нулевым решением уравнения
Гельмгольца. Таким образом, различные функции h\ и Л2 в L2(Si) определяют
различные решения ^Fi и Дг уравнения Гельмгольца. Следовательно, наше
формальное введение структуры гильбертова пространства в Ж при помощи
определения (3.6) корректно. Далее, операторы T(g) на Ж, определенные в
(1.16), унитарны, а операторы (1.7) алгебры Ли на пространстве Ж
косоэрмитовы.
И наконец, линейное преобразование I является взаимно однозначным
отображением L2(S\) на Ж, сохраняющим скалярное произведение, т. е. I -
унитарное преобразование из L2\S\) на Ж. Существование этого обратимого
отображения дает нам возможность перейти от задач в пространстве Ж к
задачам в пространстве L2(S\). Мы показали, в частности, что
представление группы симметрии ?(2) в Ж, определяемое операторами (1.16),
является унитарно эквивалентным посредством I унитарному представлению
?(2) в L2(S\), определенному операторами (3.2). Поскольку второе
гильбертово пространство со многих точек зрения значительно проще
первого, этот факт будет очень полезен в наших дальнейших вычислениях.
Мы уже показали, что решения уравнения Гельмгольца с разделенными
переменными, соответствующие ортогональной системе координат {и, и},
являются собственными функциями некоторого оператора SeP'f2), причем S-
симметрический многочлен второго порядка от элементов алгебры S'(2).
Очевидно, что оператор 5 можно определить на области D = /(0) в
пространстве Ж или как эквивалентный оператор на области 3) в
пространстве L2(S\). Более того, S в области определения является
симметрическим оператором. (Напомним, что некоторый оператор А,
определенный на плотной области D гильбертова пространства Ж, называется
симметрическим, если (ЛЧГ1,ЧГ2) = (ЧГ1, ЛЧ^г) для всех Ч'ь Ч'г е D, где
(•, •) -скалярное произведение в Ж.) В самом деле, если S = {?ь ?2} =
60 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
= L\Li L2L\, Lj^iГ (2), то, поскольку Ту косоэрмитовы и отображают D в
себя, мы имеем
(S4V V2) = (LlL2Vu WJ + iULWь 40) =
= - (L2Wu L,W2) - (L^u L2W2) = (40, SW2).
Следовательно, каждый оператор S, характеризующий систему координат,
допускающую разделение переменных, можно определить как симметрический
оператор на D.
Симметрические операторы обладают целым рядом приятных свойств, из
которых далеко не последнее место занимает тот факт, что их собственные
векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, а
их собственные значения вещественны. Так, если S'4f/^= Л,/Чг/, / = 1, 2,
где 40- отличные от нуля элементы области D и Ту е С, то
Ai (40, 40) = (S4V 40) = (40, S40) = %2 (40, 40). (3.8)
Полагая 40 = 40 и сравнивая левую и правую части соотношения (3.8), мы
видим, что Ti=Ai и поэтому Ti (а следовательно, и Т2)-вещественная
величина. Далее, если 40 #= 40 и Я,1 ф Т2, то сравнение правой и левой
частей соотношения (3.8) дает (ЧО,ЧО) = 0, т. е. 40 ортогонально 40-
Из сказанного выше и известного процесса ортогонализа-ции Грама - Шмидта
вытекает, что 5 имеет счетное множество взаимно ортогональных собственных
векторов {40}, причем каждый собственный вектор можно нормировать таким
образом, что он будет иметь единичную длину: (40, 40) = 1, S40 = А,/Чг/,
(40, 40) = 0 ДЛЯ }Ф1.
Теперь предположим, что 4Г можно представить в виде
бесконечной линейной комбинации нашей ортогональной последовательности
собственных векторов:
оо
хР=Т,а,Ч" ауеС. (3.9)
у-о
Используя соотношения ортонормальности (40, 40) = 8ц, получаем равенство
Парсеваля
оо оо
(40 40= %_oa,atpP" Ч0)= Е ауау. (3.10)
Коэффициенты ау определяются однозначно:
оо
О?, ^y)=Say(^y, 40) = а,. (3.11)
у-о
Теперь возникает вопрос, является ли ортонормальное') мно-
1) В дальнейшем будет применяться сокращение о. н.
1.3. Формулы разложения 61
жество {Ч'/} о. н. базисом в Ж, т. е. можно ли представить произвольный
элемент Ч?^Ж в виде суммы (3.9). Вообще говоря, это сделать нельзя,
поскольку область D обычно'слишком ограничена, чтобы обеспечить
достаточное количество собственных векторов необходимое для образования
базиса. Однако существует хорошо разработанная теория расширений
симметрических операторов, дающая возможность в значительной степени
преодолеть эту трудность. (Симметрический оператор S' называется
расширением оператора S, если область, на которой определен оператор S',
строго содержит область, на которой определен оператор S, и оба оператора
совпадают на общей области определения.) Мы не собираемся здесь входить в
детали этой теории; она излагается во многих учебниках (см., например,
[48, 113]).
Один из основных выводов этой теории состоит в том, что многие
симметрические операторы (имеющие равные индексы дефекта) можно расширить
до особых симметрических операторов, называемых самосопряженными (не
единственным образом, если только индексы дефекта не равны (0,0)),
которые обладают тем свойством, что их собственные функции образуют базис
