Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 22

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 122 >> Следующая

этом методе используется преобразование Фурье, чтобы установить структуру
гильбертова пространства на пространстве решений уравнения Гельмгольца.
Пусть у) -решение уравнения (Д2 + (о2)Чг = 0, и пусть
оо
ХГ (.V, у) = \\ exp [/ (cojjti -f (o2y)] Я (о)ь <йо) dai с1щ,
- ОО
где Я- преобразование Фурье функции XF. Поступая формально, имеем
(Д2 + и2) Т ^ (и2 - и2 - to2) exp [f ((о,х -f co2y)] X
X Я (соь со2) Ясо, йщ - 0
при условии, что Я((й1, (о2) = (о_16((о - д)Я(ф), где ё(г)-дельта-функция
Дирака, .5 и <р - полярные координаты в плоскости (юь со2), причем (c)I = s
cos tp, to2 = s sin <p, и dcoidco2 = sdsdy.
1.3. Формулы разложения 57
Интегрируя по s, находим
л
Чг (х, у) = ^ ехр |7<в (л: cos ф + у sin ср)] h (ф) с?р == / (А). (3.1)

Элементы g(Q,a,b) группы ?(2) действуют на решения Y уравнения
Гельмгольца посредством операторов T(g), определяемых выражениями (1.11)
и (1.16). Используя (3.1), получаем
Я
т (g) 'Г (*, у) = ^ ехр [гю {х cos (ср + 0) + у sin (ср + 0) +
- Я
-j- a cos ф + b sin ф)] h (ср) dq> =
Я
= ^ ехр [г'со (л: cos ср + у sin ср)] Т (g) h (ср) dq>,

где
Т (g) h (ф) = ехр [/со (a cos (ф - 0) + b sin (ф - 0))] h (ф -¦ 0). (3.2)
(Чтобы интегрирование в (3.1) выполнялось по единичной окружности, должно
выполняться равенство Л(ф)= й(ф + 2л).)
Итак, операторы T(g), действуя на Ч'1, индуцируют операторы (которые мы
также обозначаем через T(g)), действующие на Л и определяемые в (3.2).
Легко видеть, что для операторов
(3.2) выполняется свойство гомоморфизма T(gig2) = T(gi)T(g2).
Теперь рассмотрим функции h как элементы гильбертова пространства ?2(^1)
функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу на единичной окружности Sj:
а^ + а;; = 1 (т. е. s = l, -л ^ ф < л(тос1 2л)). Таким образом, мы
рассмотрим про-
Я
странство всех измеримых функций h, таких, что h (ф) р dq> <

< оо. (Читатели, не знакомые с интегрированием по Лебегу, могут в нашем
дальнейшем анализе заменить интеграл Лебега интегралом Римана.
Практически такая замена почти не влияет на процесс интегрирования.) На
/^(S1) определено скалярное произведение
Я
(hi,h2)= ^ hi (ф) h2 (ф) dq>, ?/e?2(5i). (3.3)

(Детальный анализ концепций гильбертова пространства см. в [68] и [113].)
58 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Любую функцию h^L2(S 1) можно продолжцть до некоторой функции,
определяемой на вещественной прямой наложением условия периодичности
Л(<р) = А(ф + 2я). Принимая это условие, мы видим, что операторы T(g),
задаваемые (3.2), корректно определены на L2{S\) и отображают это
гильбертово пространство в себя. Простое вычисление дает
(Т(g)hi, T(g)h2) = (hu h2)
для всех h,- ^ L2(Si) , т. е. операторы T(g) унитарны. (Унитарные
операторы в гильбертовом пространстве рассматриваются в [113].) Итак, мы
построили унитарное представление (<о) группы Е(2) в L2(Si), отмеченное
положительной константой се. В [37] и [78] показано, что это
представление неприводимо: нет такого собственного подпространства
пространства L2(Si), которое было бы инвариантно для всех операторов
T(g). Этот факт нас здесь не интересует.
Поступая подобно тому, как в (3.1), (3.2), и интегрируя по частям, можно
вычислить на L2(Si) алгебру Ли операторов Ри Р2, М, индуцированную
операторами Pi, Р2, М (см. (1.7)), действующими на решения уравнения
Гельмгольца. В результате имеем
Р\ - /со cos ф, Р2 = /со sin ф, М =¦- - d/dcp. (3.4)
Ясно, что эти операторы удовлетворяют соотношениям коммутирования (1.8) и
образуют базис алгебры &{2). В строгом соответствии с (1.16) эти
операторы новой алгебры Ли связаны с операторами T(g") (см. (3.2))
соотношением
Т (g) = exp (0Л4) exp (aPi + ЬР2).
Поскольку операторы T(g) унитарны, операторы новой алгебры Ли являются
косоэрмитовыми, т. е.
(Lhi, h2) = - {hi, Lh2), A; eL2(5i), (3.5)
для L = C\Pi -f cP2 -f- C3M, Ck e R, что можно легко проверить. Область
определения оператора L должна быть точно установлена. Операторы Р; имеют
смысл, если они применяются к любой функции h & L2(Si), оператор же М
имеет смысл только в том случае, когда он применяется к некоторой
дифференцируемой функции. Для ясности определим все операторы L нашей
алгебры Ли на подпространстве Ф пространства L2(Si), состоящем из всех
бесконечно дифференцируемых функций А(ф)> обращающихся в нуль в
окрестности -л и л. Для А;- е ф соотношение (3.5) легко проверить.
Теперь рассмотрим пространство Зё, состоящее из решений уравнения
Гельмгольца 4я, определяемых формулой (3.1): 4я =*
1.3. Формулы разложения 69
= /(/i) для некоторого /ie?2(Si). Пространство Ж является гильбертовым
пространством со скалярным произведением
(?" As), 'F/ = /(А/). (3.6)
Заметим, что каждую функцию 'F (х, у) в Ж можно представить в виде
скалярного произведения
'F (х, у) = 1 (Л) = {К Н (х, у, •)),
Н (х, у, ф) = ехр [- т (х cos ф + у sin ф)] е L2 (Si). ' '
Можно проверить, что нет такой отличной от нуля функции h^L2(S\) (отличие
от нуля означает, что ||/i||2 = <Л, Л> > 0), которая обладала бы тем
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed