Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь найдем решения уравнений (2.30), когда %ф0. Поскольку первое из
этих уравнений является комплексным сопряжением второго, Я, -
вещественная величина. Больше того, выполняя, если необходимо, растяжение
координат, можно положить % = 1. Решение для dz/dw имеет вид
dz/dw = aew - $e~w, а, р е С;
следовательно,
z = aew + fie~w + у, у<=С. (2.39)
Осуществляя (в случае необходимости) перенос и поворот координат в
плоскости (х, у), можно положить у = 0 и а ^ 0. Если р=0, а > 0, мы
полагаем г = ае°, 0 = v, с тем чтобы получить полярную систему координат
x = rcos0, J/ = rsin0, 0, 0^0 < 2л. (2.40)
52 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
(Ясно, что если координаты {и, и} допускают решения уравнения Гельмгольца
с разделяющимися переменными, то координаты (г, 0} также допускают такие
решения.)
Если ар ф 0, то нашу систему координат можно повернуть в плоскости (х,у),
с тем чтобы имело место неравенство ар > > 0. Таким образом,
2а = exp (а - b + /<р), 2р = ехр (а -f Ь - г'ф),
и, полагая d = еа, | = и - b, т] = v -f- ф, мы получаем допускающие
решения с разделяющимися переменными эллиптические координаты {g, т]}:
х - d ch I cos т), y = dshl sin тр (2.41)
(Можно было бы положительную константу d положить равной 1, но мы
сохраняем величину d такой, чтобы она отвечала принятому выше условию.)
Координатные линии % = const и г] = const описываются уравнениями
X^ | у^ j х^ у^ ^
d2 ch2 I + d2 sh2 I = 1 ' d2 cos2 ~ d2 sin2 r) = 1
и являются софокусными эллипсами и гиперболами соответственно с фокусами
в точках (х, у) = (+d, 0). Позволяя %, т] меняться в интервале % ^ 0, 0 ^
т] < 2я, мы можем получить любую точку в плоскости (х,у). Подставляя
выражения (2.41) в (2.24), получаем
+ dm4? + с?2(о2(ch21 - cos2 л)^ = 0. (2.42)
Полагая далее = U(Q K(ri), находим уравнения, имеющие решения с
разделенными переменными:
U" + {d2w2 ch21 + k2) U - 0, V" - (d2w2 cos21\ + k2) V = 0; (2.43)
здесь k2- константа разделения. Эти уравнения являются вариантами
уравнения Матье, а решения с разделенными переменными суть произведения
функций Матье (см. приложение Б).
Умножая первое уравнение (2.43) на Fcos2ri, а второе на U ch2? и
складывая результаты, получаем следующее уравнение на собственные
значения:
(ch21 - cos2 ri)_I (cos2 т)дц + ch2 ^с?ЛТ1) 'P* = k2y?k,
где 'F* = UV. По аналогии с соответствующими результатами для декартовых
и параболических координат можно предположить, что оператор S в левой
части этого уравнения принадлежит Я'/ц. Прямое (но довольно утомительное)
вычисление дает результат
(МЧ^)^=Л*, (2.44)
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца 53
подтверждающий наше предположение. Итак, решения с разделенными
переменными в эллиптических координатах являются собственными функциями
оператора симметрии M2-\-d2P\ (или М2 - d2PI), а константа разделения k2
представляет собой Ьоответствующее собственное значение. Подобным, но
более простым вычислением можно показать, что решения с разделенными
переменными в полярных координатах являются собственными функциями
оператора симметрии М2.
Итак, мы связали каждую из четырех ортогональных систем координат,
допускающих разделение переменных в уравнении Гельмгольца, с оператором
симметрии второго порядка. Кроме того, мы увидели, что под действием Е
(2) системы, допускающие разделение переменных, распадаются на классы
эквивалентности. Действительно, если ЧЧ - решение с разделенными
переменными в переменных и=(их,и2), то Т(^)1Г* - решение с разделенными
переменными в переменных u' = ug, получаемых в результате преобразования
координат при помощи евклидовой группы. Мы считаем системы и и и'
эквивалентными. Рассмотрим эквивалентность на уровне операторов.
Предположим, что Sg^/h - оператор симметрии второго порядка, связанный с
координатами и, 5ЧГ* = k2Wk- Тогда Se - = Т(g)ST(g)-1 - соответствующий
оператор, связанный с решением 4;f = T(g)4,,b Действительно, 5g4ff =
fe24;f. Более того, легко показать, что S8 представляет собой оператор
симметрии второго порядка. Так, если S = LXL2, где L/ - операторы
симметрии первого порядка, то Ss = LfLf, где Lf определено в (2.15).
Поскольку Sgg' = (Sg')g, g,g'^E(2), действие Е(2) на 9\ называемое
сопряженным представлением, приводит к разбиению 9> на орбиты одномерных
подпространств. Мы говорим, что 5 лежит на той же орбите, что и S', если
5 = c(S')B для некоторого ненулевого сеК и некоторого g ^ Е(2). Далее,
оператор Pi + Р2 коммутирует со всеми элементами S{2), а следовательно, и
со всеми операторами T(g). Таким образом, оператор R (х) (Р2 + Pf) - W^<\
удовлетворяет условию Wg = = R(*g)(Pl+Pt)e= q для R ^.ЗГ. Этим показано,
что действие Е(2) на пространстве 9>/<\ определяется сопряженным
представлением, в результате чего это пространство разбивается на орбиты.
Пусть 9>{-2) - пространство элементов чисто второго порядка в <?/q, т. е.
пятимерное векторное пространство симметричных операторов второго порядка
с базисом (1.226). (Мы можем включить в это пространство также оператор
