Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 24

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 122 >> Следующая

в Ж. Но за это свойство приходится расплачиваться, а именно мы должны
рассматривать не только собственные векторы самосопряженного расширения,
но и обобщенные собственные векторы. (Ниже мы приведем несколько примеров
обобщенных собственных векторов.)
Большую часть симметрических операторов,- рассматриваемых в настоящей
книге при описании процесса разделения переменных, можно расширить до
самосопряженных операторов при помощи классических приемов. Для
небольшого числа операторов, которые не поддаются расширению при помощи
классических приемов, можно все-таки найти базисы собственных функций, но
процесс нахождения базисов оказывается не стандартным и не единственным.
Установим связь между упомянутой выше теорией и разделением переменных
чисто формально. Пусть S - симметрический оператор в D, соответствующий
системе координат, допускающей разделение переменных для уравнения
Гельмгольца. Мы скоро увидим, что любой такой оператор можно расширить до
самосопряженного оператора S', определенного в области D' э D. Таким
образом, каждое решение уравнения Гельмгольца У&Ж можно единственным
образом разложить по собственным функциям оператора S'. Но собственные
функции оператора S' - обязательно решения уравнения Гельмгольца с
разделяющимися переменными в системе координат, соответствующей оператору
S. Собственные значения оператора S' являются просто значениями константы
разделения.
62 Г л. 1. Уравнение Гельмгольца
Использование технических возможностей нашего гильбертова пространства
позволяет нам выполнять разложение произвольного решения уравнения
Гельмгольца по элементам собственного базиса, составленного из решений с
разделяющимися переменными. В действительности же все вычисления,
необходимые для получения этих разложений, будут выполняться не в Зв, а в
более подходящем пространстве L2(Si).
А теперь найдем спектральное разложение для каждого из четырех операторов
S, перечисленных в табл. 1.
Орбита 2.S = М2
Чтобы найти спектральное разложение для М2, достаточно найти разложение
для Ш, i = д/ - 1, и возвести в квадрат полученные собственные значения.
(Заметим, что оператор iM - симметрический в области ?Ь, поскольку
оператор М косоэрмитов.) Оператор М на L2(Si) имеет вид М- -d/dq>, и,
следовательно, уравнение на собственные значения iMfx = Я/* принимает вид
Для это уравнение не имеет решений, отличных от нуля.
Если же Ш расширен на область , состоящую из всех функций feL2(Si),
первые производные которых существуют и являются непрерывными на Si, то
легко проверить, что iM является симметрическим на и имеет нормированные
собственные функции {/^(ф)}-'
(Заметим, что для / е &)' имеет место условие периодичности Д-я) = /(я),
откуда вытекает, что решения /*(ф) = сеач' уравнения (3.12) принадлежат
области тогда и только тогда, когда X = п.) Легко проверить, что
Из теории рядов Фурье известно, что множество {/<^] является фактически
о. н. базисом для пространства L2(Sj) [103]. Таким образом, любую функцию
fei2(Si) можно однозначно представить в виде
(3.12)
f(2) (ф) = ein<t/(2n)li2, LMff = nff, п "= 0, ± 1, ±2, .. .(3.13)
если пфт, ^ если п - т.
оо
1.3. Формулы разложения 63
где ~ означает, что сумма сходится к / в смысле сходимости в гильбертовом
пространстве
/ т т \
Um if- Z cj?. I- Z cjv>) = 0
oo \ m n~*-m t
и необязательно сходится поточечно.
(В действительности Ш не является самосопряженным на но легко показать,
что дальнейшее расширение iM на область, где он будет самосопряженным, не
дает новых собственных значений и собственных векторов. В дальнейшем мы
будем сразу давать базис собственных функций, не всегда касаясь вопросов,
связанных с областью определения оператора.)
Оператор iM' = i(ydx - хду) в 96, соответствующий опёра-тору Ш = -id/diр
в L2{S\), определен соотношением М' = = 1М1~1, где унитарное
преобразование / задано в (3.1). Следовательно, iM' унитарно эквивалентен
iM, и поэтому iM' имеет тот же спектр, что и iM, а о. н. базис {/(r)}
собственных функций оператора iM отображается посредством унитарного
преобра* зования / в о. н. базис {W("2)}:
^2) = /(/(п2))- п = 0, ±1.................... (3.16)
собственных функций оператора iM'. Таким образом, переходя к полярным
координатам, получаем
WL2) (г, 6) -1 [ехр (шф)/(2я)1/2] -
Я
=* (2я)-1/2 ^ ехр [гсог cos (ф - 6)] ехр (г'щр) с/ф. (3.17)

Замена переменных а == ф - 6 дает WL2) (г, 6) = ехр (тб) Rn (г),
Я
Rn (г) = (2я)"1/2 ^ ехр (гсог cos а) ехр (та) da. (3.18)

Хотя интеграл, входящий в Rn(r), известен, мы проанализируем процесс его
вычисления с самого начала, с тем чтобы продемонстрировать связь между
теорией Ли и разделением переменных. Поскольку Ч^2) - собственная функция
оператора iM', отвечающая собственному значению п, то - решение с
разделенными переменными в полярных координатах и Rn{r) удовлетворяет
уравнению Бесселя (2.9) при k = п. Так как Rn(0) конечно, Rn{r)=
cdп((рг), где с"- постоянная величина (см.
64 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed