Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
координат {х, у) соотношением
ду = иуди -f Vydv = ди.
Таким образом, иу = 1, vy= 0 и v(x,y) зависит только от х. Заменяя (в
случае необходимости) v новой переменной v(v), можно положить v = х.
Интегрируя уравнение иу = 1, мы получаем явные выражения для координат и,
v:
u = y-\-h(x), о = х, (2.31)
в которых переменные в (2.24) разделяются; для выполнения условия случая
II необходимо потребовать, чтобы к'(х)фО. Заметим, что эти координаты
неортогональны, т. е. кривые и = = const не ортогональны кривым v = const
в смысле обычного евклидова скалярного произведения. Строя решения с
разделенными переменными уравнения (0.1), соответствующие системе
координат (2.31), читатель может легко проверить, чго отличие между этими
решениями и решениями в декартовых координатах незначительно.
Аналогичным образом, если ди=Л4, то система координат, допускающая
разделение переменных, имеет вид
ц = 0 + Л(г), v = r, h'(г) ф 0, (2.32)
где г, 0 - полярные координаты. В этом случае координаты также
неортогональны и лишь слегка отличаются от решений с разделенными
переменными в полярных координатах.
Заметим, что в случае II имеется бесконечное множество систем координат,
допускающих разделение переменных и соответствующих единственному
оператору симметрии L, но все эти системы по существу идентичны.
Некоторые авторы не считают эти системы по-настоящему допускающими
разделение переменных и сохраняют термин "допускающие разделе-цие
переменных" для систем координат случая I. Однако
50 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
с теоретико-групповой точки зрения я не вижу никаких причин, по которым
такие системы следовало бы исключить из семейства систем координат,
допускающих решения с разделенными переменными, хотя они могут и не
представлять никакого интереса.
Прежде чем возвратиться_к подробному исследованию систем координат для
случая I, следует заметить, что все эти системы ортогональны. В самом
деле, как читатель может легко проверить, ортогональность следует сразу
же из соотношения
UxVx -f- UyVy =0.
Решим уравнения (2.30) для частного случая, когда К - 0. Решение для
dz/dw имеет вид
dz/dw = Р + уw, Р, у е С. (2.33)
Если у = 0, р = с + id, находим, что z = рдо + а, или
х<=а + си - dv, y = b + du + cv, а = a + ib, (2.34)
где а, Ь, с, de R. Легко видеть, что координаты и, v получаются из
декартовых координат при помощи евклидовой группы движений и растяжения
х, у-*(с2 + d2)42x, (с2 + d2)l/2y. Поскольку мы не различаем системы
координат {u,v} и {h(u), k(v)} и поскольку системы, получаемые одна из
другой при помощи евклидовой группы движений, мы считаем
эквивалентными,
можно видеть, что в"е системы, определенные в (2,34), эквивалентны
декартовой системе координат.
Если в (2.33) у ф 0, то мы имеем решение
z = (у/2) w2 + рдо + а, о, Р, у G С.
Так же как и в предыдущем случае, выбирая подходящие ко-
эффициенты растяжения и преобразования евклидовой группы, можно показать,
что эта система эквивалентна системе, для которой 7 = 1,р = а = 0;
следовательно,
х = 1/2 (и2 - у2), y - uv. (2.35)
Координаты и, у называются параболическими, так как координатные линии и
= [ (х3 + у2)1/2 + х] Ч2 = const и v - = ± [ (х2 + у2)1/2 - х] ч* = const
образуют два ортогональных семейства софокусных парабол. (По условию и
может принимать только положительные значения, а у может быть как
положительным, так и отрицательным. Поскольку обратная функция w=(2z)i/2
неоднозначно определена на всей плоскости (х,у), мы делаем разрез по
отрицательной части оси х (см. [99]).)
Подставляя выражения (2.35) в (2.24), мы получаем уравнение
дииУ + + (и2 + у2) = 0, (2.36)
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца 51
в котором переменные, очевидно, разделяются. Действительно, полагая Д1 =
U(u)V(v), мы находим, что
U" + (a>2u2-k2)U = 0, V" + (a>2v2 + k2)V = 0, (2.37)
где k2 - константа разделения. Оба уравнения (2.37) являются слегка
видоизмененными формами уравнения параболического цилиндра, а решения с
разделяющимися переменными Д* являются произведениями функций
параболического цилиндра (см. приложение В),
Умножая первое уравнение (2.37) на v2V, а второе на u2U и вычитая затем
второе уравнение из первого, мы получаем следующее уравнение на
собственные значения:
(и2 + vTl (v2duu - u2dvv) Чк = k*?k.
Обозначим через S оператор в левой части этого выражения; решения
уравнения Гельмгольца отображаются оператором S в другие решения, а
именно в k2x?u- Поэтому можно предполагать, что Sg^/ij, т. е. S -
оператор симметрии второго порядка. В самом деле, прямое вычисление дает
{М, P2}Wk = k2Vk, (2.38)
откуда S = {М, Р2}. Итак, мы охарактеризовали решения с разделяющимися
переменными в параболических координатах как собственные функции
оператора симметрии {М,Р2}. Константа разделения k2 является собственным
значением этого оператора. Подобным образом решения с разделяющимися
переменными в декартовых координатах суть собственные функции оператора
симметрии Pi
