Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 29

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 122 >> Следующая

функций / от t, х определяется соотношением
Т (g) / (х) = ехр (ОМ) ехр (аР, + ЬР2) / (х),
где Pi, Р2, М даются (4.2). Взяв экспоненту производных Ли, как в
приложении А, мы получим
Т (g) / (х) = / (xg), (4.10)
где xg определяется (4.7). Легко проверить, что
т(§ё') = Т(g)Т(g'), g,g'^E( 1,1), T(g(0, 0, 0))"=?, (4.11)
где Е - единичный оператор на 8Г.
Способ вычисления пространства 5Р операторов симметрии второго порядка
аналогичен способу, рассмотренному в разд. 1.1. Факторизуя по
пространству q тривиальных симметрий /(х) (дц - дхх + со2), мы находим,
что ff'/q девятимерно
и имеет базис
(а) Р,, Р2, М, Е,
(4 12)
(б) Р?, Р,Р2, М2, [М, Pi}, {А/, Р2}.
В части (а) представлены операторы симметрии первого порядка, в части
(б)-операторы симметрии чисто второго порядка. Следовательно, уравнение
Клейна - Гордона принадлежит классу I.
По аналогии с выражением (2.15) для уравнения Гельмгольца группа ?(1,1)
действует на алгебру Ли #(1,1) операторов симметрии через сопряженное
представление
L-> L8 = Т (g) LT (g~[), L<=$( 1,1). (4.13)
В результате этого действия #(1,1) разбивается на орбиты. Чтобы
установить структуру этих орбит, мы должны прежде всего определить
сопряженное действие на базис Р/, М. Если gi = ехр (aPi), мы имеем
P?' = Ph Pi' = P2t Mg' = М - аР2. (4.14)
Если g2 = ехр (ЬР2), то
Р?=*Ри Pf2==P2, Mg, = M-bPu (4.15)
и, наконец, если g3 = ехр (aAf), то
PV = ch aPi + sh aP2,
P\" = sh aPi + chaP2, Af8s = Af. (4-16)
Пусть L - C\P\ + c2P2 + c3M €=#(1,1), L -5^=0. Рассуждая так же, как в
разд. 1.2, можно показать, что если с3 Ф 0, то L
1.4. Разделение переменных для уравнения Клейна - Гордона 77
находится на той же орбите, что и М; если с3 = 0, с\ > с\, то L находится
на той же орбите, что и Pi; если с3 = 0, с\<с\, то L находится на одной
орбите с Р2\ если с3 = 0, Ci = с2, то L находится на одной орбите с Pi -
j- Р2; если с3 = 0, Ci = -с2, то L находится на одной орбите с Pi - Р2.
Чтобы упростить эти результаты, заметим, что операторы /ь /2 инверсии
пространства и времени
' ¦ /,Ф(/, *) = Ф(Л -*), /*Ф(/, *) = Ф(-Л *) Ф = $~, (4.17)
отображают решения уравнения Клейна - Гордона в решения, и эти операторы
симметрии нельзя представить в виде (4.10), т. е. 1\ нельзя получить при
помощи вычисления экспоненты операторов алгебры симметрии; то, что
функции (4.17) являются решениями, устанавливается простой проверкой.
Операторы 1\ и T(g), 1)> порождают большую группу симметрии
?(1, 1), так называемую расширенную группу Пуанкаре. Группа ?(1, 1) уже
не является связной группой, а ее связной компонентой, содержащей
единицу, является группа ?(1, 1). Алгебра Ли операторов симметрии
не дает никакой информации
о связных компонентах, отграниченных от единицы.
Поскольку ?(1,1)-группа симметрии, нам не нужно проводить различие между
координатами, связанными преобразованием этой группы. Мы должны только
определить орбиты в <!Г(1, 1), возникающие в результате сопряженного
действия группы ?(1, 1). Это легко выполнить. Из (4.17) находим (//=?)
Pi = IiPiIT1 = Ри Pi' = -Pb М!' = -М, (4.18)
PiJ = -Pi, Р2! = Р2, Mh = - М. (4.19)
Таким образом, в результате сопряженного действия группы ?(1, 1) алгебра
<?Г(1, 1) распадается на четыре орбиты со следующими представителями:
М, Ри Р2, Л + ?2. (4.20)
Поскольку последние три представителя попарно коммутируют, их можно
диагонализировать одновременно.
Пусть ^(2) - вещественное пятимерное векторное пространство операторов
симметрии чисто второго порядка в ^/<j. Базис 5?(2) задается операторами
(4.126). Заметим, что в этом пространстве Pi=P2, поскольку Р] - Р2
соответствует нулевому оператору. И здесь группа ?(1,1) действует на
пространство 9>(2'> через сопряженное представление, разбивая его на
непере-секающиеся орбиты. Классификацию орбит проделал Калнинс .[54];
здесь представлены только окончательные результаты.
78 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Ниже мы даем перечисление представителей орбит:
Pi Р1Р2, (Pi + Р2)2, М2 ± a Pi М2 - a№, М2± а (А + P2f, М2, (М, Р,}, {М,
Р2}, [М, Л - Р2}, {М, Р, - Р2} + а (Р, + Р2)\
(4.21)
Здесь а > 0; всего имеется тринадцать различных орбит. Соотнося эти
операторы с системами координат, допускающими разделение переменных, мы
обнаруживаем, что параметр а здесь выполняет точно такую же функцию, как
и параметр d для эллиптических координат, отвечающих оператору М2 -\-d2P2
и представленных в табл. 1. Таким образом, а просто определяет масштаб
координат; если координаты различаются только на величину а, свою для
каждой системы, то фактически они не отличаются друг от друга. По этой
причине мы впредь будем полагать а = 1.
В работе [54] Калнинс определил все системы координат, в которых
уравнение Клейна - Гордона имеет решения с разделенными переменными, и
соотнес эти системы с операторами симметрии (4.21) точно так, как мы.
сделали в разд. 1.2 для уравнения Гельмгольца. Результаты, полученные
Калнинсом, даются нами в сокращенном виде.
Система 1. S = P2, Р\Р2, (Л + Аг)2
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed