Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Pi = iachy, P2 - ia>shy, М = ду, (5.4)
которые, конечно же, удовлетворяют соотношениям коммутирования (4.3).
В отличие от того, что имело место для уравнения Гельмгольца, функции Ф
вида (5.1) могут и не являться истинными решениями уравнения Клейна -
Гордона, поскольку они могут не быть дважды непрерывно дифференцируемыми
по х и /. Например, если Ф определяется соотношением (5.1), то можно
ожидать, что в результате формального дифференцирования под знаком
интеграла мы получим соотношение <Э?Ф = = 1 (ia>h ch у). Однако для
заданного h, интегрируемого с квадратом, выражение hchy может и не быть
интегрируемым с квадратом, и, следовательно, возможно, что интеграл
I(id)hchy) не будет сходиться. Однако если h содержится в плотном
множестве 2), состоящем из всех бесконечно дифференцируемых функций с
компактным носителем (т. е. функций, которые обращаются в нуль вне
некоторого замкнутого ограниченного интервала вещественной прямой), то
легко проверить, что соответствующие функции Ф = I(h), h^3), являются
истинными бесконечно дифференцируемыми решениями уравнения Клейна -
Гордона. Кроме того, операторы (5.4) корректно определены в 2).
1.5. Решения уравнения Клейна - Гордона 85
Пусть Ж-пространство функций Ф вида Ф = /(/г), h е eLi(R). Здесь Ж -
гильбертово пространство со скалярным произведением
(Ф1, <D2) = (hi, h2), Ф/ = / (h/). (5.5)
(Это определение имеет смысл, потому что можно проверить, что ни один
ненулевой элемент h не может быть отображен интегралом I в нулевое
решение уравнения Клейна - Гордона.) Назовем элементы пространства Ж
слабыми решениями уравнения Клейна - Гордона. Из того что 2- плотное
подмножество пространства L2(R), легко следует, что каждое слабое решение
Ф является в смысле гильбертова пространства пределом Пт фj = ф некоторой
последовательности истинных бесконечно дифференцируемых решений.
В рассматриваемом нами случае мы можем получить явные интегральные
выражения для скалярного произведения в Ж. Действительно, для Ф/ = 7(А/),
hj^2, можно легко проверить справедливость соотношений
оо оо
(Фь Ф2) = / ( Q>\dtQ>2dx =-i [ (д(Ф1)Ф2ёх , (5.5')
Jo ' = Joe
где интегралы не зависят от константы /0. (Эти выражения хорошо известны
в квантовой теории поля (см., например, [139]). Мы просто построили
гильбертово пространство решений уравнения Клейна - Гордона с
положительной энергией.) Но интегралы (5.5') имеют смысл только в том
случае, когда функции Ф/ дифференцируемы по t. Если в гильбертовом
пространстве Ж считать Ф пределом интегралов, взятых по конечным
интервалам [-п,п] (предел в среднем) при и-"оо, то соотношение
(5.1) приобретает четкий смысл.
Легко проверить, что операторы T(g), определяемые формулой (5.3),
унитарны в L2(R) и определяют унитарное (даже неприводимое) представление
группы ?(1,1). Унитарное преобразование 7, которое отображает L2(R) в Ж,
отображает операторы T(g) в операторы n(g)I~l (см. (4.10)) в пространстве
Ж. Операторы алгебры Ли (5.4) в области 2) являются косоэрмитовыми;
отсюда следует, что элементы пространства ^(2), образованные из
операторов (5.4) и определенные в 2), являются симметрическими.
Следовательно, мы можем каждый из перечисленных в табл. 2 формальных
операторов S связать с некоторым симметрическим оператором в 2, а затем
попытаться расширить эту область, с тем чтобы получить самосопряженный
оператор, спектральное разложение которого легко вычисляется. И наконец,
используя преобразование 7, мы можем отобразить полученные результаты в
Ж.
86 Г л. 1. Уравнение Гельмгольца
Заметим, что выражение (5.1) можно представить как скалярное
произведение:
Ф(1, x) = I(h) = (h, Н(-, t, х)),
(5.6)
Н (у, t, х) = ехр [- гю (t cb у -f х sh у)].
Это представление не строго корректно, прскольку Н как функция от у не
принадлежит L2(R) при вещественных t, х. Но если мы позволим t и х
принимать комплексные значения, такие, чтобы выполнялись неравенства
Im(/±x)>0, то H(y,t,x)е еL2(R), и представление (5.6) становится
справедливым. Кроме того, Ф(/, х) удовлетворяет уравнению (ди - дхх -f-+
<о2) Ф (t, х) = 0 для комплексных t их. Все представленные в табл. 2
системы координат, допускающие разделение переменных, можно аналитически
продолжить в область 1т(/±х)>0, где мы получим разделение переменных для
комплексного уравнения Клейна - Гордона. Интегралы 1(h), где h
принадлежит одному из собственных базисов, соответствующих некоторому
оператору S из табл. 2, абсолютно сойдутся благодаря экспоненциально
затухающему коэффициенту, который содержится в функции Н.
В представленном ниже списке собственных базисов мы ограничиваемся
случаем, когда t их вещественны, но результаты обычно получаются в
предположении, что Im(7±jc)>0, а затем обосновывается предельный переход
к случаю, когда t и х вещественны.
Система 1. S - P\, Р\Р2, (Р\ + Р2)2
Чтобы вычислить общие собственные функции этих коммутирующих операторов,
достаточно получить общие собственные функции операторов iP\ и iP2.
