Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Базисом обобщенных собственных функций для L2(R) является совокупность
(у)}:
fl (У) = 6 (у -К) (- оо < А, < оо), iPJl = - ю ch А
iPJl = - <"shXf{, (fl, fl) = 6(1- X'). (5J)
Здесь верхний индекс "с" означает, что функции рассматриваются в
декартовых координатах. Соответствующий базис обобщенных собственных
функций {ф?} в Ж имеет вид
ф? (t, х) = / (fl) = ехр [гю ((ch А, + х sh А,)],
(Фх, Фу)=*6(Х-Х').
Система 2. SM = М2
Здесь достаточно диагонализировать симметрический оператор 1М = i(d/dy) в
L2(R). Спектральное разложение этого one-
J.5. Решения уравнения Клейна - Гордона 87
ратора точно соответствует теории преобразования Фурье в Li(R) (см. [48,
113]). Здесь мы просто приведем полученные результаты. Симметрический
оператор iM в 2> имеет единственное самосопряженное расширение, которое
мы также обозначим через iM. Базисом обобщенных собственных функций для
Li{R) является множество где
= (~оо<Х<оо), iMf* = -Xf* (59)
(ft, ^> = 6(А-Р).
Таким образом, произвольную функцию h^L2(R) можно единственным образом
представить в виде
оо
h(y) = (2n)m J h(X)elXydX, (5.10)
- оо
где
оо
ii(X) = (h, f") = (2п)~ш J h{y)e~lXy dy, (5.11)
- оо
оо оо
\\h{X)fdX= \\h{y)fdy. (5.12)
- оо -оо
Заметим, что коэффициент разложения Н{Х) в формуле (5.11) является в
точности преобразованием Фурье функции Л, а (5.12)-равенство Парсеваля.
Следовательно, iM имеет непрерывный спектр, полностью покрывающий
вещественную ось.
Соответствующий базис обобщенных собственных функций {фх1} в 26 состоит
из функций
оо
Фх* {U х) = (2п)~1/2 ^ ехр [гсо (/ ch у + х sh у) 4- iXy] dy =
- ОО
^(^2/n)e-'x°Kix(i<*u), (5.13)
где
i - u ch и, х = и sh v,
а
К, (z) = 2-^- (eivn/2/_v (ze^) - е- *"/*/" (ze^)) (б. 14)
- функция Макдональда. Заметим, что наш вывод соотношения
(5.13) справедлив только при условии /±*>0. Для других квадрантов
плоскости (х, t) можно найти подобную параметризацию,
88 Гл. I. Уравнение Гельмгольца
Система 3. 5d ={M, Р2}
В области 2) имеем {Л4, Р2} = 2ico sh y(d/dy) -f- t<o ch у. Можно
показать, что индексы дефекта этого оператора не равны, и, следовательно,
его нельзя расширить до самосопряженного оператора в некотором плотном
подпространстве пространства L2(R). Оператор {М, Р2} можно сделать
самосопряженным, расширяя само гильбертово пространство L2(R), но эта
процедура совершенно не единственна. Поскольку орбита 4 также связана с
функциями параболического цилиндра, а исследовать ее значительно проще,
чем данный случай, мы закончим на этом анализ орбиты 3.
Система 4. SD = {Л4, Pi}
В 2 имеет место соотношение Sd = 2t(c) ch y(d/dy) -\- t'<osh у. Чтобы найти
спектральное разложение оператора Sd, выполним унитарное преобразование
пространства L2(R) и проведем замену переменной таким образом, чтобы
после преобразования имело место соотношение Sd = 2iv>(d/du), где и -
новая переменная. В этом виде спектр оператора Sd определяется легко.
Отображение У: L2(R)-+ L2(\i, R), определяемое соотношением
Vh(y) = (ch г/)1/2h(у), hs=L2(R),
является унитарным преобразованием пространства L2(R) в гильбертово
пространство L2(^,R) функций, заданных на R, интегрируемых с квадратом по
мере dn(y) = dy/chy и со скалярным произведением
оо
(fu f2y= \ fi(y)f2(y)dn(y).
-•оо
Таким образом,
(hu h2) = (Vhu Vh2)',
и симметрический оператор У50У-1 на 12г(ц,/?), который мы также обозначим
через SD, принимает вид SD = 2ко ch y{d/dy). Теперь произведем замену
переменной еу = tg(u/2), 0 < и < я. Тогда скалярное произведение в 12(ц,
R)== L2 [0, я] примет вид
Я
(fl, fi)' - f\ (и) h (и) du, fj (у) ?3 fj (и),
О
и SD = 2i(o(d/du). Подпространство 2) пространства L2(R) отображается в
пространство 2)'<= Ь2[0, л], состоящее из бесконечно дифференцируемых по
и на отрезке [0, л] функций, которые в окрестности граничных точек
обращаются в нуль. Теория самосопряженных расширений оператора Sp в 2)'
хорошо ад-
1.5. Решения уравнения Клейна - Гордона 89
вестна [9, 48]. Существует бесконечное множество расширений, определяемых
параметром а, 0^а^2. Для фиксированного о пространство 3)' расширяется до
?D'a - пространства всех функций f, непрерывных на отрезке [0, я],
непрерывно дифференцируемых на интервале (0, я) и таких, что f(0) =
eianf{n). Легко проверить, что SD - оператор, симметрический на ?D'a и
имеющий о. н. базис собственных функций
fn (и) = 1/2ехр (- iXu/(2со)), X = 2со (а + 2л),
л = 0, ±1, ±2.........
Переходя обратно в L2{R), можно видеть, что Sd, где а фиксировано, имеет
собственные функции
fn'a(y) = (2/n)ll2ey,2{l - iey)a+2n~112 (\ +/е4')-0-2'1-172,
cOfD, О Л fD, о /fD, О rD, о\ л л , " (5.15)
V"' =%1п > \Гп - In' ) = \п" п = 0, ±1......................
Кроме того, образует о. н. базис в L2{Rj.
Собственные функции операторов Sd и Sd связаны следующими соотношениями:
/г*'- s К'*>/;••.
/1" - 00 '
P-a'-a + 2(m-"),
которые получаются простым вычислением в Z-г [0, я].
Базисные функции a не лежат ни в области определения оператора Pi, ни в
области определения оператора Р2, но лежат в области определения
