Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
оператора М. В результате простого вычисления получаем
m-- оо
Чтобы найти соответствующий базис обобщенных функций К1 "} в Ж,
ф*) = /(7°-в),
используем тот факт, что переменные в этом интеграле разделятся, если
положить
/ = uv, х = '/г (и2 + V2).
В результате получаем следующее соотношение:
Ф?' " (и, v) - 2 ехр [Зл/ (а + 2л)/2] Z)-0-2n-i/2 ((2со)1/2 и) X
Х?"а+2П-1/2(/(2со)1/2п). (5.17)
SO Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
Система 5. 5д = {М, Pi - Р2} + (Р1 + Р2)2
Этот оператор имеет в 2) индексы дефекта (0, 1); следовательно, никакое
самосопряженное расширение в обычном смысле невозможно. Самосопряженное
расширение (неоднозначное), получаемое в результате расширения
гильбертова пространства Рг(Р) до L2(R) (r) L2(R), рассматривается в работе
[56].
Системы 6, 9 и 10
Поскольку базисы Матье в приложениях встречаются крайне редко,
рассматривать их здесь, несмотря на всю их несложность, мы не будем.
Система 7. SK = М2 + (Pi + Р2)2
В 2) этот оператор определяется соотношением 5к =" *= d2/dy2 - (а2е2у и
имеет единственное самосопряженное расширение (его замыкание).
Спектральное расширение оператора 5к не простое, но его можно получить
при помощи известных формул интегрального преобразования Лебедева (см.
[121]). Имеется базис обобщенных собственных функций
/к (у) = я-1 (2Л shA)w Ка (т"), 0 < Ж оо,
ЗД -
Здесь K\{z)-функция Макдональда (5.14). Соответствующий базис обобщенных
собственных функций в 36 задается
соотношениями
Фх (и, v) = 2л-1 (X sh Х)т Ка (<аи)Ка (- йм)> t = (u2 - u2v2 - t"2)/(2
uv), х = (и2 -f u2v2 - t>2)/(2 uv), (5.19)
I u/v I > 1
С аналогичными результатами в других областях плоскости
'(*, О -
Система 8. 5в - М2 - (Pi + Р2)2
Этот оператор определяется в 2) соотношением 5в = = d2/dy2 + а2е2у и
имеет семейство самосопряженных расширений 5в. 0<а<:2 (см. [121]). В
данном случае 5в имеет как дискретный, так и непрерывный спектр.
Собственные функции дискретного спектра задаются соотношениями
/'¦ • (У) - [2 (а + 2п)1,в /а+!" (те'), п-0,1,2....
(С с а> sx ° - <2"+°)! ii "• (5,20)
1.5. Решения уравнения Клейна - Гордона 91
Ограничиваясь для простоты случаем а =2, находим, что оператор 5в также
имеет непрерывный спектр на полуоси к < О с обобщенными собственными
функциями
Г(r) (У) = '/г [sh (л У-ТО 1 [/, ((оеУ) + , утт (ме*')],
функции {/в-2, /?} образуют базис в L2(/?).
Соответствующие базисные функции в Ж определяются следующими
соотношениями:
ф(r)' " = 2 [2 (а + 2л)]1/2 /а+2п (соы) Ка+2п (- гсоц), I и/v | < 1,
Ф"в = [sh (л У - к )] 1/2[/, ^ (сои) + vrr (соы)] X
Х^,угг(- too), ^5-22^ / = (ы2 + ы2п2 + v2)/(2uv), х = (и2 - u2v2 -f-
v2)/(2uv),
v > ы > О,
с аналогичными выражениями в других областях плоскости
(*, О-
Система 11. SE = {М, Р\ - Р2}
Этот оператор в &) определяется формулой SE =¦ = т{2е~у {d/dy)-егу),
Формальные решения уравнения 5Е/ = - kf имеют вид f(y) = cey/2exр(-
ikey/2d>). Оператор SE имеет индексы дефекта (0, 1) и поэтому совсем не
имеет естественных самосопряженных расширений. Как показано в [56],
расширяя гильбертово пространство до L2 (/?)(r) ^2 (R), оператор SE можно
расширить (неоднозначно) до самосопряженного оператора. Этот
самосопряженный оператор имеет непрерывный спектр, покрывающий
вещественную ось, и обобщенные собственные функции в L2(/?)(r) L2(R)
образуют базис, а сужение этих функций до исходного пространства L2(R)
имеет вид
fl(y)= (4jtco)i/2 ехр(~'^ )¦ 5е- 00 < ^ < °°- (5.23)
Произвольный элемент h^L2{R) можно однозначным образом разложить по
элементам собственного базиса 00
h(y)~ \ c(k)fl(y)dk, c(k) = (h,fl). (5.24)
- 00
Но базис {/?} не удовлетворяет условиям ортогональности в
92 Г л. 1. Уравнение Г ельмгольца
Замечание. Как показано в [56], расширения пространства (R) до L2(R)@
L2(R), которые мы выполняли с тем, чтобы получить самосопряженные
операторы, соответствующие орбитам 5 и 11, довольно обычны. До сих пор мы
ограничивались рассмотрением гильбертова пространства L2(R), которое
соответствует решениям уравнения Клейна - Гордона с положительной
энергией. В релятивистской же квантовой теории часто используется
гильбертово пространство L2(R)QL2(R), которое соответствует решениям как
с положительной, так и с отрицательной энергией [139]. Расширенное
гильбертово пространство инвариантно относительно расширенной группы
Пуанкаре, включая инверсию пространства и времени, а исходное
пространство не обладает этим свойством. Получить самосопряженные
операторы, которые соответствовали бы всем орбитам, можно только в
расширенном гильбертовом пространстве. Переходя к Ж, находим
фЕ (/, х) = I (Д) = [- 2ш2 (/ + *)- 2а]~1/2 X
X ехр {- [со2(х2 - I2) - Х(х - /)До]1/2}; (5.25)
аналогичные выражения получаются для иных значений t, х и X. Несложный
анализ показывает, что такие координаты и, v,
4
в которых Фх(/, х) = X (и) (v)> т- е- которые допускали
/=i
бы решения с разделенными переменными, отыскать невозможно. Функции Фл
все еще образуют базис для Ж, состоящий из собственных функций оператора
