Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
L = А (х) дх + В (х) ду, А, Ве=?Г,
то в окрестности некоторой фиксированной точки хо е 3) всегда можно найти
такие-новые координаты и, v, что L=du. Непосредственное введение
(неединственных) координат и, и см. в [1] либо в [142]. (Здесь и далее
при анализе координат мы требуем, чтобы новые координаты м(х), о(х) были
вещественными аналитическими функциями от г и у, причем обратные функции
х(и, и) и у(и, v) также являются вещественными и аналитическими. Новая
система координат может быть определена только в окрестности некоторой
точки х0 и не обязательно должна покрывать всю плоскость (х, у).)
Представляя оператор Лапласа Д2 в координатах и, v, находим, что
Q = Д2 4- ю2 = Вцдии + B\^uv + В22dvv 4" 4" C2dv 4" со2, (2.11)
где функции Вц, С/ аналитичны в окрестности точки х0. Допустим, что L -
оператор симметрии, т. е. Le|f(2); тогда [L, Q] = 0. Подставляя в это
выражение L = du и правую часть (2.11) вместо Q и вычисляя коммутатор,
находим, что функции Вц, С/ не зависят от и. Уравнение Q4r = 0 будет
иметь решения с разделенными переменными вида Чг* = eikuV(v), где V
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
B22V" 4- (ikBi2 4- С2) V' 4- (- k2Bn 4- ikCx 4- со2) Г = 0. (2.12)
Решения ЧД характеризуются уравнением на собственные значения
LWk = lkWk. (2.13)
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца 45
Таким образом, мы нашли решения с разделенными переменными уравнения
(0.1), удовлетворяющие соотношению (2.13), и добились разделения
переменных в том смысле, что множители каждого решения с разделенными
переменными удовлетворяют некоторому обыкновенному дифференциальному
уравнению.
Следует заметить, что для каждого ge?(2) функция T(g)4rk, где Т(?)
задается соотношением (1.16), является решением уравнения Гельмгольца,
которое также удовлетворяет уравнению на собственные значения
L8(7(g)Wk) = ikT(g)Wk, (2.14)
если ЧД удовлетворяет (2.13). Здесь
L* = T(?)LT(?-') (2.15)
- оператор симметрии, поскольку он является произведением трех
операторов, коммутирующих с Q. Кроме того, L? - дифференциальный оператор
первого порядка. В самом деле, если
L = A{y)dx + В{у)ду, (2.16а)
то прямым вычислением получаем
Ье = А(х')дх'+ В{х')ду>, (2.166)
где {х',у')= х' = xg. (При помощи цепного правила Le можно представить в
исходных переменных х, у.) Итак, Ls^<g{2). Если Ч7*- решение с
разделенными переменными в системе координат u=(w, v), то T(g)4L> будет
решением с разделенными переменными в системе координат и' = ug,
получающейся в результате евклидова преобразования координат в плоскости
(х,у). Поскольку допускающие разделение переменных координаты и и и'
могут быть отображены друг в друга преобразованием из группы симметрии
?(2), мы считаем эти системы координат эквивалентными. Заметим также, что
координаты и собственные функции, соответствующие оператору L,
тождественны координатам и собственным функциям, соответствующим
оператору cL, где с - ненулевая вещественная константа. Таким образом,
оператор Leif(2) и все операторы cLg, g <= е?(2), приводят к
эквивалентным координатам, допускающим разделение переменных.
Действие L--*-Lg группы Е(2) на й*(2), являющееся сопряженным
представлением, разбивает 8(2) на орбиты одномерных подпространств. Мы
говорим, что К&.&(2) лежит на той же орбите, что и L, если К = cLg для
некоторого ненулевого с е R и некоторого ge Ё(2). (Заметим, что L88'=
(L8')8.)
Для того чтобы при помощи формул (2.12), (2.13) найти вс* возможные
неэквивалентные системы координат, допускающие
46 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
разделение переменных, и соответствующие решения с разде-ленными
переменными,- мы должны, руководствуясь приведенными выше замечаниями,
разбить алгебру с? (2) на орбиты действием группы симметрии Е(2). Анализ
получаемых орбит выполняется в явном виде при помощи формул (2.16).
Другим полезным выражением является
ехр (аК) L ехр (- аК) = L + a[K, L] + -у- [К, [К, L]] + ...
... +-?[/(, [..., [К, ?]]...] + ... =e"*dK(L)> (2.17)
где К - производная Ли на алгебре симметрии с?(2), а <= R,
a Ad К - линейный оператор на с?(2), определяемый соотношением Ad K(L)
=(K,L). Доказательство см. в [134].
Теперь определим сопряженное действие группы симметрии Е(2) на базис Pi,
Р2, М алгебры <§(2). Если g\ =exp(aPi) (перенос), мы имеем
Pf' = Pb Pf' = P2, Мг'=М - аР2, (2.18)
если g2 = exp(bP2) (перенос), мы имеем
Pf = P1> Pf = P2, М* = М + ЬРг, (2.19)
если gз = exp(aAf) (поворот), мы имеем
Pf = cos (a) Pi + sin (a) P2,
Pf = - sin (a) Pi + cos (a) P2, Ms3 = M (2.20)
Пусть
L = ctPi -j- c2P2 + c3M e 8 (2), (2.21)
и пусть c3 ф 0. Тогда из (2.18) и (2.19) следует, что Lg,s, = с3М, если а
и b выбираются так, что а = с2/с3, b = -с\/с3. Следовательно, L лежит на
той же орбите, что и М. С другой стороны, еслис3 = 0 и с\-\- > 0, то
легко видеть, что g3 можно
выбрать так, что L8' = (ci + с2)1/2 Pi- Следовательно, L будет лежать на
той же орбите, что и Р2.
В заключение заметим, что при сопряженном действии группы симметрии ?(2)
