Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 14

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 122 >> Следующая

можно действие S(2) на $Г, задаваемое соотношениями (1.7), расширить до
локального представления Т группы Е{2) на Так, из теоремы А.З мы получаем
операторы Т (g), где
Т (g (0, а, 0)) Ф (х) = ехр {аР{) Ф (х) = Ф (х + а, у),
Т (g (0, о, Ь)) Ф (х) = ехр (ЬР2) Ф (х) = Ф (л:, у + Ь), (1.15)
Т {g (0, 0, 0)) Ф (х) = ехр (0М) Ф (х) = Ф (л: cos 0 + у sin 0,
- х sin 0 + У cos 0)
и По аналогии с (1.13) общий оператор Т(g) опреде-
ляется так:
Т ig (0, а, Ь)) Ф (х) = ехр (0М)ехр {аР\) ехр(ЬР2) Ф (х) = Ф (xg), (1.16)
где точка xg задается соотношением (1.11). Итак, преобразование (1.11),
определяемое элементом группы ?(2) как группы
38 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
преобразований, в точности совпадает с преобразованием, индуцируемым
производными Ли в (1.7). (Напомним, что если L - некоторая производная
Ли, то по определению мы имеем
оо
ехр(аЕ)Ф(х) = ? (afc/6!)Lfc<D(x), (1.17)
*-о
см. (А.8).)
Следствием фундаментальных результатов теории алгебр Ли является тот
факт, что для операторов T(g) выполняется свойство гомоморфизма
Т(??') = Т(?)Т(?'), g,g'&E(2); (1.18)
впрочем, недоверчивый читатель может проверить это непосредственно.
Применение формул (1.16), (1.18) требует определенной осторожности, так
как для пары хе2), ge?(2) элемент xg может и не лежать в 3) и,
следовательно, функция Ф(х?) не будет определена. При фиксированном же
хе(r) элемент xg будет лежать в 3) при условии, что g находится в
достаточно малой окрестности единичного элемента g(0, 0, 0) группы Е(2).
Следовательно, формулы (1.16) и (1.18) справедливы только локально.
Если L - оператор симметрии первого порядка уравнения Гельмгольца, т. е.
L отображает решения в решения, то Lk также отображает решения в решения
для каждого & = 2, 3, 4, ... . Кроме того, из (1.17) видно, что оператор
exp(aL) также отображает решения в решения. Поскольку операторы T(g)
состоят из произведений выражений вида exp(aL), Le^(2), можно сделать
вывод, что если Ч^х) - аналитическое решение уравнения Q1F = 0, то 4f/(x)
= T(g)4f(x)=4,'(xg) также будет аналитическим решением в области, которая
является открытым множеством, состоящим из всех таких х е R2, что xg е
3). (Если 3) - R2, то операторы T(g) будут определены глобально, и в этом
случае определение области существования не требуется.) Основываясь на
этих замечаниях, назовем Е(2) группой симметрии уравнения Q^F = 0.
Теперь легко видеть, почему мы ограничиваемся рассмотрением вещественной
алгебры Ли с базисом Ри Р2, М. Экспонента какого-либо элемента
комплексной алгебры Ли, скажем iP\, где i = 1. является оператором
симметрии уравнения
Гельмгольца, но тем не менее ехр (/Pi)<D(x) = Ф(х -f- i, у), и мы
получаем функцию, которая не определена для произвольной функции Фе?-,
поскольку Ф определено лишь для вещественных значений х и у. Итак, мы
рассматриваем только такую алгебру Ли, экспоненты элементов которой
таковы, что имеет место формула (1.16).
1.1. Группа симметрии уравнения Гельмгольца 39
Аналогично тому, как мы определили операторы симметрии первого порядка
для уравнения Гельмгольца, можно определить операторы симметрии второго
порядка. Оператор второго порядка
5 = А\\дХх
+ А i2<5*i! + А22дуу + В\дх + В2ду + С, Atk, B/t С е 3,
(Г19)
называется оператором симметрии уравнения (0.1), если
[S,Q] = U(x)Q, (1.20)
где С/(х) -дифференциальный оператор первого порядка
U = H1(x)dx + H2(x)dy + J(x), HhJe=P. (1.21)
(Здесь U может зависеть от S.) Рассмотрим оператор симметрии первого
порядка L как частный случай оператора симметрии второго порядка. При S =
L уравнение (1.20) выполняется, если Hi = H2 = 0. Поскольку коммутатор
операторов второго порядка является оператором порядка а^З, мы требуем,
чтобы U был оператором первого порядка.
Следующая теорема доказывается так же, как теорема 1.1.
Теорема 1.3. Оператор симметрии второго порядка S отображает решения
уравнения (0.1) в решения, т. е. если Те е Го, то 5Т е Г0.
Нетрудно доказать, что если оператор 5 в (1.19) отображает решения Т
уравнения QT = 0 в решения, то S удовлетворяет соотношению коммутирования
(1.20) для некоторого U вида (1.21).
Пусть 3 будет векторным пространством всех операторов симметрии второго
порядка 5. Ясно, что 3 содержит алгебру симметрии первого порядка 3.
Однако 3 не является алгеброй Ли при обычном определении оператора
коммутирования, поскольку коммутатор [S, 5'] двух операторов симметрии
второго порядка, вообще говоря, является оператором третьего порядка и,
следовательно, не является элементом векторного пространства 3. (Заметим,
что [5,5'] все еще отображает решения в решения.)
Среди элементов векторного пространства 9* содержатся все операторы вида
RQ, где Я - произвольный элемент пространства Г. Действительно, оператор
5 = RQ удовлетворяет соотношению (1.20), где U= [7?, Q] -дифференциальный
оператор первого порядка. Можно непосредственно проверить, что RQ
отображает решения Т уравнения Q4r = 0 в решения же. Поскольку (#Q)4r =
^(QT) = 0, решение W отображается в
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed