Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
сферических функций на группах. Этой теме, которая является обобщением
теории сферических гармоник, посвящена обширная литература (см.,
например, [126, 131]). Кроме того, недавно при помощи сферических функций
была получена формула сложения для многочленов Якоби [69, 138]. Но
сферические функции всегда связаны с координатами подгрупп, поэтому для
большинства даже элементарных уравнений, рассматриваемых в настоящей
книге, они не могут охватить все специальные функции, получающиеся в
процессе разделения переменных.
Краевые задачи также не рассматриваются, хотя при их решении метод
операторов симметрии имеет большое значение (см. [19]). В последней
работе, а также в работах [106, 144, 145] рассматривается применение
метода операторов симметрии
32 Предчсловие автора
к решению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных;
этот вопрос нами не рассматривался, так как окончательного мнения по нему
пока нет.
Я искренне благодарен Полю Винтернитцу за полезные обсуждения основных
концепций, связывающих симметрию и разделение переменных. И в заключение
я выражаю свою признательность Чарльзу Бойеру и Эрни Калнинсу, без
творческого сотрудничества с которыми эта книга не была бы написана.
Уиллард Миллер, мл.
Глава 1 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
1.0. Введение
Основные идеи, связывающие группу симметрии некоторого линейного
дифференциального уравнения в частных производных и системы координат, в
которых данное уравнение допускает решения с разделяющимися переменными,
можно легко продемонстрировать на конкретных примерах. Наиболее простым
нетривиальным примером, подходящим для этой цели, очевидно, является
приведенное волновое уравнение, или уравнение Гельмгольца,
(Да + юЧЧЦх, у) = 0, (0.1)
где (c) - некоторая вещественная положительная константа и
Д2'Г = <?"'Г+ <?,>.'
(Здесь dxxW - частная производная второго порядка от 'Г по переменной х.)
В этой главе мы' дадим подробный анализ группы симметрии уравнения (0.1),
решений с разделяющимися переменными этого уравнения, а также уравнений,
с ним связанных; в дальнейшем этот анализ будет служить нам основой в
подобных исследованиях гораздо более сложных задач.
На данном этапе мы рассмотрим только такие решения 'Г уравнения (0.1),
которые определены на некотором открытом связном множестве 3) плоскости
R2 и аналогичны относительно вещественных переменных х, у. (Здесь 3),
например, можно выбрать так, чтобы оно совпадало с этой плоскостью.)
Множество всех таких решений 'Г образует векторное (комплексное)
пространство 30, т. е. если Чг <= ?Г0 и я G С, то (а'Г) (х, у) == S3 а'Г
(х, у) е 30, и если 'Гь 'Гг е 30, то (Vj + 'Гг) (*, у) as = 'Г^х, у) +
'Г2(л:, у)е За. Фиксируя 3) в нашем анализе, назовем 3~о пространством
решений уравнения (0.1).
Пусть 3-векторное пространство всех комплекснозначных функций,
определенных и вещественно-аналитических на 3), и пусть Q -
дифференциальный оператор в частных производных:
Q = Aa-fa*, (0.2)
34 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
определенный на 2D. Ясно, что Q(D е 2Г при ФбУ, а @~0-• такое
подпространство векторного пространства которое является ядром, или нуль-
пространством, линейного оператора Q,
1:1. Группа симметрии уравнения Гельмгольца
Известно, что если ^(х), х=(х,у), является некоторым решением уравнения
(0.1), то Чг'' (х) = Ч*1 (х -f- а), где а = ==" (аь а2)-вещественный
двумерный вектор, и ? (х) =
= ^(хО), где
также будут решениями этого уравнения. (Точку х следует выбирать так,
чтобы х + а и хО лежали в 2D, с тем чтобы Чг~ и Т имели смысл при
вычислении их в точке х.) Таким образом, переносы в рассматриваемой
плоскости и повороты относительно начала координат отображают решения
уравнения (0.1) в решения. Эти переносы и повороты порождают группу ?(2)
- группу движений евклидовой полости, или евклидову группу, элементы
которой суть движения фигуры как твердого тела в данной плоскости. Как мы
покажем в дальнейшем, использование евклидовой симметрии уравнения (0.1)
дает возможность просто доказать многие факты относительно решений
уравнения Гельмгольца. Ниже мы дадим доказательство того, что уравнение
(0.1) допускает евклидову группу движений, и покажем, что в определенном
смысле ?(2) представляет собой максимальную группу симметрии этого
уравнения.
Линейный дифференциальный оператор
L = X{x)dx-\-Y (х) ду-\- Z (х), X, У, Z е= Т, (1.1)
называется оператором симметрии для уравнения Гельмгольца,
где [L, Q] = LQ - QL - коммутатор операторов L и Q, а аналитическая
функция R - Rl зависит от L. Напомним, что Q - оператор (0.2).
(Соотношение (1.2) означает, что оператор справа и оператор слева, будучи
примененными к любой функции ФеУ, дают один и тот же результат.)
Пусть *S - множество всех операторов симметрии уравнения Гельмгольца.
Теорема 1.1. Оператор симметрии L отображает решения уравнения (0.1) в
решения, т. е. если Tefo, то Z/'FeiFo.
если
[L,Q] = R(x)Q,
(1.2)
1.1. Группа симметрии уравнения Гельмгольца 35
