Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
40 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
решение, тождественно равное нулю. Итак, операторы RQ являются
симметриями тривиального вида и действуют как нулевой оператор в
пространстве решений &~о-
Множество всех тривиальных симметрий q = {RQ: R^tF} образует
подпространство векторного пространства 9, и каждый элемент q действует
как нулевой оператор на &~о- Впредь мы будем игнорировать это
подпространство q и будем рассматривать факторпространство нетривиальных
симметрий 9/ц. Итак, будем считать две симметрии S, S' в 9 тождественными
(S = = S'), если S' = 5 -)- RQ для некоторого R&ZF. Если 5 задается
формулой (1.19), то S = S', где S' = 5 - A22Q, и, следовательно,
коэффициент при дуу в выражении для S' равен нулю. Поэтому все симметрии
5 эквивалентны симметриям S', у которых коэффициенты при дуу равны нулю.
(Заметим, чго операторы 5 и S' совпадают на пространстве решений &~о.)
Кроме того, два оператора Si, S2, у которых коэффициенты при дуу равны
нулю, совпадают на &~о тогда и только тогда, когда остальные их
коэффициенты тождественны.
Вычисление всех нетривиальных симметрий выполняется просто. Подставляем
выражения (1.19) (при А22 = 0) и (1.21) в формулу (1.20) и в полученном
соотношении приравниваем коэффициенты при различных частных производных
по х и у в правой и левой частях. В результате получаем уравнения,
аналогичные (1.3) и (1.4), но более сложные. Здесь мы представляем только
результаты нашего вычисления.
Факторпространство 9/ц представляет собой девятимерное комплексное
векторное пространство с базисом
(а) Ри Р2, М, Е,
(1 22)
(б) Р\, РХР2, М\ {М, Р,}, [М, Р2).
Здесь [А, В) = АВ + В А, где А, В - операторы на 9~. Заметим, что если А
и В - операторы симметрии первого порядка, то произведения АВ и ВА будут
операторами симметрии второго порядка. Из (1.22) видно, что уравнение
Гельмгольца допускает только эти нетривиальные симметрии и никаких иных,
т. е. все операторы симметрии второго порядка являются квадратичными
многочленами от элементов множества 3. (В действительности можно
показать, что операторы нетривиальных симметрий любого порядка являются
многочленами от элементов множества 3, но в этом нет никакой
необходимости.) Вообще говоря, если QY = 0 - дифференциальное уравнение в
частных производных второго порядка, у которого все нетривиальные
операторы симметрии второго порядка являются квадратичными многочленами
от элементов алгебры симметрии первого порядка 3, то мы называем такое
уравнение уравне-
1.1. Группа симметрии уравнения Гельмгольца 41
нием класса I. Если существует некоторый нетривиальный оператор симметрии
второго порядка, который не может быть представлен квадратичным
многочленом от операторов симметрии первого порядка, то такое уравнение
называется уравнением класса II. На основании (1.22) можно сделать вывод,
что уравнение Гельмгольца является уравнением класса I.
А теперь несколько замечаний относительно символа {•, •}. Рассмотрим
оператор симметрии второго порядка МР\. Заметим, что
МР\ = '/2 ШРХ + Р\М) + >/2 (МРХ - РХМ) = >/2 {М, Я,} + % [М, ял-
Итак, мы представили МРХ в виде суммы оператора в точности второго (не
первого) порядка 1/2{М, Рi} и оператора первого порядка '/2 [АЧ, ЯЛ
='/гЛь Аналогичным образом любое произведение АВ элементов алгебры S'(2)
можно однозначно представить в виде суммы симметризованной части чисто
второго порядка 1/2{А,В) и коммутатора '/2[А, В], принадлежащего алгебре
<S {2). В (1.22а) дан базис для операторов первого порядка в 9/q, в
(1.226)-базис для подпространства операторов чисто второго порядка.
Чтобы подойти к пятимерному пространству, натянутому на базис (1.226), с
другой точки зрения, рассмотрим пространство ^(2)(2) симметризованных
операторов второго порядка из алгебры $ (2). Базис этого шестимерного
пространства состоит из пяти операторов, указанных в (1.226), и оператора
Я2. Однако на Го оператор Я2 + Я2 е (?? (2)(2) совпадает с оператором -
со2, т. е. является оператором умножения на постоянную -со2. Итак, для
того чтобы охарактеризовать элементы пространства <?Г(2)(2), действие
которых на Го отлично от указанного, нужно перейти к факторпространству &
(2)<2)/{я2 + Я2}, где {я2 + Я2} - подпространство пространства <8'(2)(2),
состоящее из всех элементов вида а (Я2 -f Я2), аеЯ. Мы поступает так
потому, что два оператора Si, S2 в <?Г(2)(2), такие, что Si - S2 = а(Я2 +
Pf), имеют на Го одни и те же собственные функции с соответствующими
собственными значениями, отличающимися на величину аса2.
До сих пор мы рассматривали 9/<\ как пространство всех комплексных
линейных комбинаций базисных операторов (1.22). А теперь покажем, что для
описания связи между операторами симметрии и разделением переменных для
вещественного уравнения Гельмгольца достаточно рассмотреть только
вещественные линейные комбинации базисных операторов (1.22). Чтобы не
вводить новый символ для обозначения вещественного девятимерного
векторного пространства, мы сохраним символ 9/<\, но теперь будем
