Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 11

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 122 >> Следующая

[44]). Виленкин (и Вигнер) получил специальные функции в виде матричных
элементов операторов, определяющих неприводимые представления групп.
Еще одним предшественником нашей теории явился метод факторизации. Данный
метод был предложен Шредингером, который применил его к решению не
зависящего от времени уравнения Шредингера для ряда систем,
представляющих определенный интерес с физической точки зрения (см.,
например, [141]). Это полезное орудие вычисления собственных функций и
рекуррентных соотношений для решения обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка было разработано несколькими авторами, включая
Инфельда и Халла
30 Предисловие автора
[51], которые дали обзор состояния теории на 1951 г. Совершенно
независимая и несколько иная разработка этой теории дана в работе Инуи
[50].
Автор настоящей книги также внес определенный вклад в развитие этой
теории, показав в 1964 г. [81], что метод факторизации эквивалентен
теории представлений 4-алгебр Ли.
Другой подход к решению проблем, рассматриваемых в настоящей книге, был
предложен и разработан Вейснером в его замечательных работах [33-35],
первая из которых появилась в 1955 г. Вейснер раскрыл теоретико-групповой
смысл семейств призводящих функций для гипергеометрических функций,
функций Эрмита и функций Бесселя. В этих статьях можно также найти
примеры допускающих разделение переменных систем координат, описанных при
помощи операторов симметрии алгебры Ли. Теория Вейснера получила
дальнейшее развитие и была связана с методом факторизации в монографии
[83] автора настоящей книги, где рассматривалась главным образом теория
локальных групп Ли, а не теория глобальных групп Ли, как в работах
Толмена и Виленкина.
Необходимо также сказать несколько слов о монографии Трусделла [123],
посвященной Е-уравнению, в которой показан способ прямого получения
производящих функций и интегральных представлений для специальных
функций, если известны дифференциальные рекуррентные соотношения, которым
эти специальные функции удовлетворяют. В 1968 г. было установлено, что
метод Трусделла вполне соответствует теоретико-групповому подходу к
изучению специальных функций [83].
Основная идея настоящей работы состоит в том, что системы координат,
допускающие разделение переменных для линейных дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка, можно охарактеризовать при помощи
систем операторов симметрии второго порядка для этих уравнений. Эта идея
вполне естественна с квантовомеханической точки зрения. Кроме того, уже с
тех пор, как появилась работа Ли, известно, что данная идея справедлива
для некоторых простых систем координат, таких, как сферические,
цилиндрические и декартовы, т. е. систем координат, связанных с некоей
подгруппой.
Для некоторых важных уравнений Шредингера, например уравнения для атома
водорода, известен способ операторной характеристики некоторых
неподгрупповых систем координат [10, 71]. Но явное утверждение о связи
между операторами симметрии и разделением переменных впервые появилось
лишь в 1965 г. в работе Винтернитца и Фриша [40], которые дали теоретико-
групповую характеристику допускающих разделение
Предисловие автора 31
переменных систем координат, соответствующих уравнениям на собственные
значения для операторов Лапласа - Бельтрами на двумерных пространствах с
постоянной кривизной. Эта работа была продолжена Винтернитцем и др. (см.
[38, 39, 79, 108]). И наконец, автор настоящей книги в сотрудничестве с
Бойером и Калнинсом дал теоретико-групповую классификацию систем
координат, допускающих разделение переменных для целого ряда важных
уравнений в частных производных, и исследовал связь между этой
классификацией и теорией специальных функций. Интересной особенностью
этой работы, которой мы обязаны Калнинсу, было открытие целого ряда
допускающих разделение переменных систем координат, не указанных в работе
[101], на которую обычно ссылаются все авторы. Другой особенностью этой
работы является разработка теоретико-группового метода, позволяющего
получать тождества для негипергеометрических специальных функций, таких,
как функции Матье, Ламе, сфероидальные функции, функции Айнса, функции
ангармонического осциллятора, а также для более известных
гипергеометрических функций.
Для понимания настоящей книги необходимо некоторое знакомство с группами
и алгебрами Ли (точнее, с гомоморфизмом и изоморфизмом групп и алгебр
Ли); необходимые знания могут дать работы [45, 86]. Однако
рассматриваемые нами примеры просты и должны быть понятны всем, кто хотя
в какой-то мере знаком с теорией Ли. Предполагается также, что читатель
имеет некоторый опыт в решении дифференциальных уравнений в частных
производных методом разделения переменных, скажем, в прямоугольных,
полярных и сферических координатах.
В силу недостатка места, времени и компетенции автора мы были вынуждены
опустить некоторые темы; наиболее важное место среди них занимает теория
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed