Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
на 8(2) имеются только две орбиты, а именно орбиты, содержащие операторы
М, Р2 (2.22)
соответственно. Ненулевой оператор Lee?(2), определяемый формулой
(2.21), лежит либо на первой, либо на второй орбите
в зависимости от того, какое из соотношений с3ф0 или с3=0
имеет место. Таким образом, при помощи формул (2.12), (2.13)
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца 47
для уравнения Гельмгольца можно получить только две систе-мы координат,
допускающие разделение переменных, а именно полярную и декартову системы
координат. Этй системы называются координатами подгрупп, так как они
соответствуют диа-гонализации образующих для подгруппы поворота и
подгруппы переноса группы симметрии Е(2).
А теперь найдем в явном виде системы координат, допускающие разделение
переменных в уравнении
(<5** + <^ + со2)? = 0, (2.23)
и покажем, что, кроме систем координат, называемых координатами подгрупп,
существуют и другие системы. Пусть {и, у} - некоторая система координат,
допускающая разделение переменных. Тогда x = x(u,v), y = y(u,v);
следовательно, и = =и (х,у), v = v (х, у) и якобиан / = vxuy - uxvy =
(уихv - - xuyv)~l отличен от нуля. Записывая (2.23) в системе {и, у},
получаем
(К+О дш+(""++2 ("л+"л) К. +
+ " + "i) + ("" + К + и*} т = 0. (2.24)
Теперь требуется выполнить разделение переменных в уравнении (2.24) в
системе координат {и, у}. Необходимо рассмотреть два случая в зависимости
от того, будет ли коэффициент при дц0 равен нулю или нет.
Случай I. uxvx -f- UyVy = 0
Взаимозаменяя по мере необходимости и и у и используя тот факт, что J ф
0, будем полагать, что существует ненулевая функция 31, такая, что vy =
3lux, vx = -3tuy. Поскольку в (2.24) входит член ю2, для разделения
переменных необходимо, чтобы
U2 _1_ и2 _ _°U(u)________ 2 . 2 Т (о) 251
UX ^ иу qi, (и) + Тх (V) ' vx^vy <их (и) + Г, (О) '
где °11, °И\ + Тх и Т-ненулевые функции. Кроме того, поскольку У2 + v2y =
(и1 + "?)> МЫ имеем 312 = Т/Щ, т. е. 31 - от-
ношение функции от и к функции ОТ У.
Предположим, что й - й(и), v = v(v)-вещественные аналитические функции от
к и у соответственно, причем йй/Лиф ф 0, dv/dv ф 0. Тогда {й, у} будет
определять некоторую систему координат, которую мы по вполне понятным
причинам считаем эквивалентной первоначальной системе {и,у}. Если в
(2.24) выбрать координаты {й, у} так, чтобы
du(du = <U~x>'1, dvfdv
48 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
то соотношения (2.25) будут выполняться для системы координат {й, 5} в
плоскости {u,v}, причем в числителях справа мы будем иметь Т= \
соответственно. Следовательно,
можно без потери общности опустить знаки тильды и полагать, что
координаты {u,v} удовлетворяют (2.25), причем °U(u)=з == T(v) е= 1.
Поэтому можно доложить 91= 1; тогда
"х = Vy, uy = - vx (2.26)
и функции и, v удовлетворяют уравнениям Коши - Римана [2]. Это означает,
что если комплексные переменные z, ш определить соотношениями
z = xJriy, ш = ц + г'и, (2.27)
то w = f(z), где f - комплексная аналитическая функция. Более того,
соотношения . (2.25) принимают вид \dw/dz\2 = = {°U\ (u)+ Т\ (и))~1, или
| dz/dw ? = <UX (и) + Тх (v), (2.28)
или, наконец,
дио (| dz/dw Р) = 0. (2.29)
Воспользуемся соображениями, приведенными в [99]. Запишем уравнение
(2.29) не в переменных и, v, а в переменных w
и w = и - iv. Используя тот факт, что duv = idww - idww
и
\dz/dw\2 = (dz/dw) (dz/dw), где первый множитель - функция только от w, а
второй - функция только от w, находим, что
/ dz \ d2 / dz \___/ dz \ d2 / dz \
\ dw J dw2 \ dw J \ dw ) dw2 \ dw ) '
откуда
/ dz \ _ 1 d2 / dz \_____/ dz \ ~l d2 / dz \
\ dw ) dw2 \ dw ) \ dw ) dw2 V. dw ) '
где левая часть зависит только от w, а правая - только от w.
Следовательно, существует некоторая комплексная константа Я, такая, что
Т=г(#)-1#- •?(?)-*#• <2'3("
Решения этих дифференциальных уравнений третьего порядка" дают в случае I
те системы координат, в которых уравнение Гельмгольца имеет решения с
разделенными переменными. Прежде чем решать эти уравнения, рассмотрим
Случай II. uxvx -f UyVy Ф О
Единственный способ разделения переменных в этом случае состоит в том,
что мы должны потребовать (выполняя, если
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца 49
необходимо, замену одной из переменных, скажем и, на функцию от нее
самой), чтобы все коэффициенты при частных производных дии, ди, duv, dvv,
dv в (2.24) были функциями только от v. Тогда, подставляя в (2.24)
x?(u,v)=eikuФ(и), мы видим, что члены, зависящие от и, выносятся за
скобки, а в скобках остается обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка (зависящее от k) для функции Ф. Ясно, что оператор ди
является оператором симметрии для уравнения Гельмгольца, и,
следовательно, мы пришли к способу разделения переменных, описанному в
(2.12) и (2.13). Как мы видели раньше, по модулю группы движений в
евклидовой плоскости можно взять либо ди = Р2, либо ди = М, где Р2 и М
заданы равенствами
О-7)- , ,
В первом случае мы имеем систему координат {u,v}, связанную с системой
