Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
analysis, theta functions and function algebras on a nilmanifold. -
Lecture Notes in Mathematics, No. 436. - Berlin: Springer, 1975.
2. Биденхарн, ВанДам (Biedenharn L. C., VanDam H.). Quantum theory of
angular momentum. - New York: Academic Press, 1965.
3. Виленкин H. Я. Специальные функции и теория представлений групп. - М.:
Наука, 1965.
4. Голубева В. А. Некоторые задачи аналитической теории интегралов
Фейнмана,-Мат. заметки, 1976, т. 31, 139-207; УМН, 1976, т. 31, 135-202.
5. Картье (Cartier P.). Quantum mechanical commutative relations and
theta functions. - In: Proc. Symp. Pure Math. IX. - Providence: Amer.
Math. Soc. 1965, p. 363-387.
6. Миллер (Miller W., Jr.). Lie theory and special functions. - New York:
Academic Press, 1968.
7. Миттаг-Лефлер (Mittag-Leffler G.). An introduction to the theory of
elliptic functions.- Ann of Math., Ser. 2, v. 24, 1923, 271-351. (Перевод
работы, впервые опубликованной в 1876 г.)
8. Толмен (Talman J. D,). Special functions, a group theoretic approach.-
New York: W. A. Benjamin, 1968.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В этой книге рассматривается связь между операторами симметрии линейного
дифференциального уравнения в частных производных второго порядка,
системами координат, в которых это уравнение допускает решения с
разделенными переменными, и свойствами получающихся при этом специальных
функций. Книга рассчитана на широкий круг специалистов, занимающихся
дифференциальными уравнениями в частных производных, специальными
функциями и теорией групп Ли, т. е. специалистов в области теории групп,
прикладных вопросов математики, теоретической физики и химии, а также
инженеров. Мы продемонстрируем, как в старый метод разделения переменных
вводятся некоторые современные теоретико-групповые приемы, применение
которых может дать нам основу для теории специальных функций. В
частности, мы покажем в явном шде, что все специальные функции,
получающиеся в процессе разделения переменных в уравнениях математической
физики, можно изучать при помощи теоретико-групповых методов. Эго
относится к функциям Ламе, Айнса, Матье и другим функциям, включая
функции гипергеометрического типа.
Сейчас в истории применения теоретико-групповых методов к теории
специальных функций наступил критический момент. Основные связи между
группами Ли, специальными функциями и методами разделения переменных были
выяснены совсем недавно. Теперь появилась возможность сконструировать
некий теоретико-групповой алгоритм, который, будучи примененным к
заданному дифференциальному уравнению, сможет дать рациональное описание
возможных систем координат, допускающих решения с разделенными
переменными, и различные теоремы разложений, связывающие решения с
разделенными переменными (специальные функции), полученные в различных
системах координат. Действительно, для большинства важных линейных
уравнений решения с разделенными переменными являются общими собственными
функциями множеств коммутирующих оператороз второго порядка из
универсальной обвер-
Предисловие автора 29
тывающей алгебры алгебры Ли симметрий, соответствующей этому уравнению.
Задача разложения одной системы решений с разделенными переменными по
элементам другой сводится к задаче теории представлений алгебры Ли
симметрий.
Несмотря на простоту, элегантность и полезность этого метода, он пока
применялся к сравнительно немногим дифференциальным уравнениям. (Во время
работы над настоящей книгой волновое уравнение (<?"-- Д3)Чг = 0 все еще
интенсивно изучалось.) Кроме того, пока что доказано мало теорем,
раскрывающих все возможности этого метода. Автор надеется, что настоящая
работа, рассчитанная на широкий круг специалистов, сможет убедить
читателя в исключительной полезности и уместности теоретико-групповых
методов при изучении разделения переменных и специальных функций. Можно
также надеяться, что эта работа вызовет у некоторых читателей интерес к
данной области математики и что со временем мы получим от них ответы на
многие еще не решенные задачи.
Идеи, связывающие группы Ли, специальные функции л разделение переменных,
исходят из различных источников. Первая глубокая работа, в которой
изучались связи теории представлений групп со специальными функциями,
обычно приписывается Картану [65]. Однако первые подробные указания на
использование этих связей в вычислительных целях, возможно, дают работы
Вигнера. Вигнер начал работать в этой области еще в тридцатых годах, а в
1955 г. в конспектах лекций, прочитанных в Принстонском университете, он
изложил полученные им результаты. Впоследствии эти результаты были
обобщены и усовершенствованы в книге Толмена [122].
Следующий большой вклад в теорию вычислений внес Виленкин, который,
начиная с 1956 г., выпустил целую серию работ, основные результаты
которых изложены в его книге [37]. Этот энциклопедический труд создавался
под сильным влиянием явных конструкций неприводимых представлений
классических групп, предложенных Гельфандом и Наймарком (см., например,
