Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 6

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 122 >> Следующая

рекуррентное соотношение
где An-iCn > 0 и Вп - вещественная величина. Обратно, любое множество
многочленов, удовлетворяющих этому рекуррентному соотношению,
ортогонально относительно некоторой положительной меры, если Ап-\Сп > 0 и
Вп - вещественная величина. Если Ап~\Сп >0 (я = 1,2 N) и ANCN+X = 0, то
эти многочлены ортогональны относительно положительной меры, носитель
которой состоит лишь из конечного числа точек. Данное рекуррентное
соотношение напоминает одно из соотношений Гаусса для смежных функций 2Л;
в ряде случаев можно показать, что это соотношение является вариантом
одной из формул Гаусса или итерацией этих формул. В других случаях по-
удовлетворяющие соотношениям для смежных функций более общего вида,
которые приводят к ортогональным многочленам. Теперь переменная
многочлена стоит на месте одного из параметров или нескольких параметров,
а не является переменной степенного ряда. По этой причине, а также в силу
нашего исключительного интереса к степенным рядам изучением и применением
этих многочленов стали заниматься с некоторым опозданием.
Одна из причин, объясняющих полезность функций cos 0 и sin 0, состоит в
их тесной связи с окружностью. Для доказательства формулы (Т.5) самым
простым способом надо сделать поворот окружности. Такое доказательство
было дано Коши. По-
хРп (х) = Апрп+1 (х) + Впрп (х) + Спрп_х (х),
лучаются иные гипергеометрические ряды: либо 3F2
fa, b, с I \
u. ')¦
либо
где а+6 + c+ l - d + e + f,
Предисловие редактора серии 19
добным же образом, чтобы доказать формулу сложения (L.5) для Рп(х), надо
рассмотреть группу поворотов, действующую на сфере в R3.
Чтобы разобраться в ситуации, рассмотрим сначала окружность. Функцию
/(0), 0 ^ 0 sg: 2л, /(0) = /(2л), можно разложить в ряд Фурье
00
/ (0) ~ -f- + Yj ("°п C0S nQ + sin
"=¦1
где
л j i
an =- [ f (0) cos nQ dQ, bn=-^~ ( / (0) sin nQ dQ.
JT J JT J
-Я - Я
Это разложение можно использовать для построения гармонической функции
и(х,у) в круге х2 + у2 < 1, принимающей заданные значения на границе.
Пусть
00
и (х, у) = -у- + ^ гп [ап cos nQ -f bn sin "0],
n= 1
где x = r cos 0, y = rsin0. Тогда u(x,y) будет гармонической функцией, т.
е.
д2и д2и _____"
дх2 + ду2~
и
lim и (г cos 0, г sin 0) = / (0),
г-"1~
если функция /(0) непрерывна при 0 ^ 0 ^ 2л.
Подобная задача существует и для трех переменных, и решается она
аналогичным образом. Прежде всего необходимо найти семейство функций,
удовлетворяющих уравнению Лапласа
д2и . д2и . д2и "
дх2 ду2 dz2
в шаре х2 + у2 + z2 < 1. Для этого вводятся сферические координаты х = г
cos ср sin 0, у - г sin ф sin 0, z = r cos 0, О^ф^ ^ 2л, 0 ^ 0 ^ л, а
затем находятся решения уравнения Лапласа вида а(г)й(0)с(ф). Можно взять
а(г) = гп, с(ф)=соэ?ф или с(ф)=эт^ф и b(Q) = Pkn( cos 0). Функции rn cos
nQ = = Re(x + iy)n и rn sin nQ = Im (x -f- iy)n являются однородными
многочленами от x и у степени п. Подобным образом г"р* (cos 0) cos kq> и
rnPkn (cos 0) sin kq>, k = 0, 1, ..., n, являются однородными
гармоническими линейно независимыми много-
20 Предисловие редактора серии
членами от х, у и г степени п. Существует 2л + 1 таких много* членов, и
именно это число стоит в знаменателе в формуле (L.1). Подобным образом
функции rncosnQ и rn sin nQ линейно независимы при п = 1, 2, и во всех
этих случаях существуют обе функции; если же п = 0, то имеется только
одна из этих функций. Этим обстоятельством объясняется вид знаменателей в
(Т.1). Далее, при помощи этих однородных гармонических многочленов
гармоническая функция в шаре х2 + У2 + z2 < 1 с заданными граничными
значениями строится точно так же, как и в случае окружности, поскольку
функции Pkn (cos 0) cos kq> и Р* (cos 0) sin Аф, k = 0,\, ..., п, п =
0,1, ..., образуют полную ортогональную систему.
Формула (L.3) является основным функциональным уравнением, которому
удовлетворяет зональная сферическая гармоника степени п на S2
("зональная" означает "не зависящая от угла ф"); зональные сферические
гармоники мы называем сферическими функциями. При более общей постановке
вопроса необходимым условием возникновения таких сферических функций
является наличие метрического пространства и группы G, действующей на
этом пространстве. Это пространство должно быть однородно в том смысле,
что в результате действия группы любая точка отображается в любую другую
точку. Кроме того, это пространство должно обладать следующим свойством:
если d{x\, у\) = d(x2, У2), то имеется элемент g е G, такой, что g(xi) =
Х2, g(yi)= У2' О таких пространствах говорят, что они двуточечно
однородны. Кроме сферы в К3 и сфер любой размерности, вещественные
проективные пространства, комплексные проективные пространства,
кватернионные проективные пространства, а также двумерное проективное
пространство над числами Кэли являются компактными двуточечно однородными
римановыми многообразиями. Во всех этих случаях сферические функции
являются ортогональными многочленами от переменной, зависящей от
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed