Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
обладаем рядом методов, позволяющих плодотворно исследовать некоторые
аспекты этой проблемы, истинное понимание гипергеометрических функций от
двух переменных остается делом будущего.
Пинчерле, а впоследствии Меллин и Барнс предложили новый способ изучения
гипергеометрических рядов и функций. Они проинтегрировали отношения
гамма-функций и без труда получили аналитические продолжения
гипергеометрических функций. Интегралы рассмотренного ими вида
встречаются во многих работах, начиная с ранней работы Мелера,
посвященной проблемам теории электричества с конической симметрией, и
кончая работой Баргманна о представлениях группы Лоренца.
Пуанкаре, исследуя автоморфные функции, получил важные обобщения
эллиптических функций. Было предложено несколько способов обобщения этих
функций на несколько переменных. Одним из наиболее плодотворных из них
оказался предложенный Зигелем метод, в котором используются функции
матричного аргумента. Гамма-функции от матричного аргумента
26 Предисловие редактора серии
были введены несколько раньше Ингамом в связи с его работами по
статистике. С точки зрения специальных функций, используемых в прикладной
математике, основную пользу от автоморфных функций, возможно, мы получим
в виде методов, которые могут быть применены для развития теории функций
от многих переменных; хотя теория гипергеометрических функций и
аналогичных им функций Гейне от нескольких переменных почти не
разработана, мы имеем достаточно результатов, чтобы понять, что можно
получить еще много фундаментальных результатов. Хорошим примером может
служить недавно вышедшая работа Макдональда, посвященная соотношениям,
подобным тройному произведению для тэта-функции, которые он получил из
аффинных систем корней классических алгебр Ли. Как гипергеометрические
функции от нескольких переменных можно рассматривать интегралы Фейнмана
(см. [4]), а также (Зп -/) -символы, применяющиеся для разложения
тензорных произведений представлений группы SU(2) [2]. И те и другие
очень полезны и тем не менее еще мало исследованы. Таким образом,
положение в этой области математики нисколько не отличается от положения
в других областях этой науки; необходимо как можно быстрее ответить на
все вопросы, связанные со специальными функциями от многих переменных.
До сих пор мы не дали определения термина "специальная функция". Я даю
простое, но не инвариантное относительно времени определение: функция
называется специальной, если она встречается настолько часто, что ей
присваивается название. Имеется целый ряд очень важных специальных
функций, которые не укладываются в изложенную выше схему, например дзета-
функция Римана, которая играет основную роль в изучении простых чисел и в
решении многих других теоретикочисловых проблем. Другим примером таких
функций могут служить многочлены Бернулли и числа Бернулли. Числа
Бернулли были введены в целях вычисления рядов, а теперь они часто
встречаются в совершенно неожиданных ситуациях.
Гарри Бейтмен составил список более чем тысячи специальных функций. И,
хотя многие из этих функций являются частными случаями
гипергеометрических рядов и нет никаких оснований присваивать им особые
названия, поскольку все установленные для этих функций факты являются
частными случаями результатов, известных для гипергеометрических рядов
более общего вида, совершенно очевидно, что многие функции заслуживают
того, чтобы о каждой из них были написаны отдельные книги. Некоторые из
этих функций обладают столь интересными свойствами и встречаются
настолько часто, что каждое поколение математиков непременно заново
начинает исследовать их и регистрировать полученные результаты, с тем
чтобы ими могли
Предисловие редактора серии 27
пользоваться другие. Пока нельзя точно сказать, какие книги по
специальным функциям выйдут в настоящей серии, но в настоящее время не
существует надлежащего подхода к гипергеометрическим рядам и их аналогам,
введенным Гейне. Имеется несколько работ [3, 6, 8], в которых применяется
алгебраический подход к исследованию специальных функций, но ни в одну из
них не включены очень интересные исследования унитарной группы, которые
приводят к формулам сложения для многочленов Якоби и Лагерра и для
круговых многочленов, образующих важный класс ортогональных многочленов
от двух переменных. Дискретные ортогональные многочлены тоже
рассматриваются неадекватным образом. Все это - материал для будущих
книг.
Существует также ряд очень интересных приложений специальных функций к
комбинаторным задачам, лишь частично рассмотренных в упомянутых выше
втором и третьем томах настоящей Энциклопедии. И подождем дальнейших
открытий. Опыт подсказывает, что нас ожидают удивительные открытия в этой
области математики. Такие открытия можно предсказывать ретроспективно, но
не заранее.
Ричард Аски, Главный редактор' серии "Специальные функции"
Список литературы
1. Ауслендер, Толимьери (Auslander L., Tolimieri R.J. Abelian harmonic
