Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 16

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 122 >> Следующая

считать, что это векторное пространство определено над R, а не над JCL.
42 Г л. 1. Уравнение Г ельмгольца
Учитывая это замечание, мы видим, что пятимерное подпространство
операторов чисто второго порядка в 9/(\ изоморфно факторпространству <8
(2)<2)/{Р2 -f Я2}, т. е. мы можем отождествить операторы симметрии чисто
второго порядка уравнения Гельмгольца с элементами чисто второго порядка
в универсальной обвертывающей алгебре алгебры В (2) по модулю центра этой
обвертывающей алгебры. Такая точка зрения будет использована при изучении
орбит в разд. 1.2.
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца
Метод разделения переменных для решения уравнений в частных производных,
который легко продемонстрировать при решении некоторых важных задач, в
общем виде оказывается весьма тонким, и описать его довольно трудно.
Поэтому мы начнем с наиболее простых случаев, а затем постепенно перейдем
к случаям, все более и более сложным.
Пока мы удовлетворимся несколько расплывчатым определением, утверждающим,
что метод разделения переменных - это метод нахождения решений некоторого
уравнения второго порядка в частных производных с п переменными, который
состоит в сведении этого уравнения к некоторой системе из п (самое
большее) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Будем искать решения уравнения (0.1) в виде W(x,y) - =X(x)Y(y). Тогда
уравнение Гельмгольца примет вид
X"Y + XY" + (c) 2XY = 0, (2.1)
где штрих означает дифференцирование. Это уравнение можно записать в
следующем виде:
где левая часть - функция только от х, а правая - функция только от у.
(Следовательно, в (2.2) декартовы координаты х, у разделяются.) Это
возможно лишь в том случае, когда обе части нашего уравнения равны
некоторой константе -к2, называемой константой разделения. Таким образом,
уравнение (2.2) эквивалентно двум обыкновенным дифференциальным
уравнениям
*"(*) + k2X{x)=*0, Y" (у) + (со2 -k2) Y (у) = 0. (2.3)
Базисом решений первого уравнения (2.3) является Ji == еli*, Х2 = e~ikx
при k ф 0, базисом решений второго уравнения яв-
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца 43
ляется Vi = ехр (г (со2 - fe2) 1/2г/), У2 = ехр(-/(со2 - k2)l/2y), если
со2 - k2 ф 0. Итак, мы находим решения W(x,y) уравнения (0.1) в виде
ЧМх)= t AllX,(x)Yt(y), (2.4)
/, j=i
где комплексные константы Aji произвольны. Несмотря на то что Ч^- решения
весьма частного вида уравнения (0.1), можно показать, что в сущности
любое решение уравнения Гельмгольца можно представить в виде суммы или
интеграла (по k) этих частных решений.
Заметим, что решение с разделенными переменными Ч^ = = Х1У1 = ехр{г \kx
(ю2 - k2) 1/2у]} является общим собственным вектором коммутирующих
операторов Р\=дх и Р2 = ду:
Л'Р* - ikWk, P2Wk = i (ю2 - k2)1/2 Wk; (2.5)
подобное замечание можно сделать и относительно остальных решений с
разделенными переменными XjYi. Итак, мы можем охарактеризовать решения с
разделенными переменными в декартовых координатах, указав, что они
являются общими собственными функциями операторов симметрии Ри Р2 е & (2)
в !Го.
Чтобы рассмотреть следующий пример, перейдем к полярным координатам г, 0:
x = rcos0, г/ = л sin 0, 0 ^ 0 < 2я (mod 2я). (2.6)
В этих координатах уравнение Гельмгольца принимает вид
{д" + У дг + тг <?ее + (r)2) ^ (г, 0) = 0. (2.7)
Будем искать решения вида Ч*1 = /?(г)(c)(0). Подставляя эго выражение в
(2.7) и перегруппировывая члены, получаем
Сr2R" + rR' + Г2 а) /г1 = - 0"(c)-1. (2.8)
Поскольку правая часть соотношения (2.8)-функция только
от 0, а левая - функция только от г, обе части этого соотно-
шения должны быть равны некоторой константе k2. Следовательно, уравнение
(2.8) эквивалентно двум обыкновенным дифференциальным уравнениям
0" (0) + k2S (0) = 0, r2R" (г) + rR' (г) + (r2a>2 - k2) R = 0. (2.9)
Первое уравнение имеет решения 0 = e-ike, а второе, уравнение Бесселя, -
решения R = J±k(a>r), где /v(z)-функция Бесселя (см. формулу (Б. 14)).
Заметим, что решение с разделенными ¦переменными Ч^ = Jk(ar)elke является
собственным вектором оператора М^ё?(2). Действительно, в полярных
координатах
44 Г л. 1. Уравнение Г ельмгольца
М = - де, и, следовательно, Ч1* s й есть решение уравнения Гельмгольца,
удовлетворяющее также соотношению
M4k = - lk4k. (2.10)
Подобные замечания справедливы также и для остальных решений с
разделенными переменными в полярных координатах.
В каждом из рассмотренных нами примеров мы видели, что решения с
разделенными переменными характеризовались как собственные функции
некоторого элемента алгебры симметрии # (2) с константой разделения k,
играющей роль собственного значения.
Пусть дан произвольный оператор L в $(2)\ можно ли найти систему
координат {и, и), допускающую разделение переменных в уравнении
Гельмгольца, т. е. такую, что решения с разделенными переменными являются
собственными функциями оператора L? Проводимое ниже рассуждение
показывает, что это возможно. Если L - ненулевой оператор вида
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed