Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
можно вывести непосредственно из этого уравнения. К ним относятся
квадратичные преобразования, играющие очень важную роль в целом ряде
проблем. Чтобы лучше понять значение этих преобразований, необходимо
напомнить еще о двух важных открытиях восемнадцатого века.
Первым из них было изучение эллиптических интегралов, которыми занимались
Фаньяно, Эйлер, Ланден и Лежандр, а также введение Лагранжем и Гауссом
понятия арифметико-геометрического среднего. Вторым открытием было
введение Лежандром и Лапласом сферических функций и многочленов Лежандра.
Исследование эллиптических интегралов привело к эллиптическим функциям,
которыми последние три четверти девятнадцатого века интенсивно занимались
Абель, Якоби, Эйзенштейн, Вейерштрасс, Эрмит и многие другие. Второе
открытие непосредственно связано с некоторыми алгебраическими подходами к
исследованию специальных функций, которые были разработаны за последние
пятьдесят лет. Миттаг-Лефлер [7] дал прекрасный исторический обзор первых
работ по эллиптическим интегралам. В этой работе описывается
преобразование Ландена в том виде, в каком его дал Лагранж (в ссылке на
Эннепера на с. 291 должна быть указана с. 357 оригинальной работы, а не
с. 307); Миттаг-Лефлер приводит также квадратичные преобразования Гаусса
эллиптических интегралов первого рода. Интерес Лагранжа к эллиптическим
интегралам объяснялся его желанием вычислить величину некоего важного
16 Предисловие редактора серии
интеграла. Гаусс сначала исследовал последовательности ап+\ = ~-п bn ,
bn+i = (anbn)112', заметив, что они сходятся, он
нашел величину, к которой они сходятся при а0= У 2, &о=1, и наконец
вычислил предел в общем виде. Используя этот ре* зультат, Гаусс получил
еще два результата, а именно ввел лем-нискатные функции, являющиеся
специальными эллиптическими функциями, и ввел два квадратичных
преобразования общего вида обыкновенной гипергеометрической функции
iF\{a,b\ с; к) с различными ограничениями на один из параметров. Эти
функции образуют очень важный подкласс функций общего вида, поскольку,
будучи умноженными на соответствующую алгебраическую функцию, они в
точности составляют класс гипергеометрических рядов, которые мы называем
функциями Лежандра.
Многочлены Лежандра интенсивно изучались в восьмидесятых годах
восемнадцатого века Лежандром и Лапласом. Эти многочлены были введены
следующим образом. Функция (с2 - 2cr cos 0 + г2)-1/2 дает значение в
точке Р потенциала силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от
центра С; здесь г и с - расстояния от Р и С до фиксированной точки О, а 0
- угол между отрезками РО и ОС. Разлагая эту функцию в степенной ряд по
г, получаем
оо
(с2 - 2cr cos 0 + г2Г112 = ЕЛ, (cos 0) rnc~n~l,
л-О
где Рп(х) -многочлен степени п от х, называемый многочленом Лежандра.
Лежандр и Лаплас вывели для этих многочленов следующие формулы:
1 1
^Pn(x)Pm(x)dx = 0, шфп\ jj (Рп(х))2dx = { . (L.1)
-1 -1
П
^ Рп (cos 0) Рт (cos 0) sin 0 dQ = 0, тфп\
(L.la)
J [Рп(cos 0)]2 sin 0 dQ = ^2+^ . о
п
Рп (cos 0) = (1/л) ^ [cos0 + * sin0cos<p]rtrf<p. (L.2)
о
п
Рп (cos 0) Рп (cos ф) = (1/л) U Рп (cos 0 cos ф -f sin 0 sin ф cos *Г)
d'P.
0 (L.3)
Предисловие редактора серии 17
(1 - х2)у" - 2ху' + п(п+ \)у = 0, у = Рп{х). (L.4) Рп (cos 0 cos ф + sin
0 sin ф cos 40 = Рп (cos 0) Рп (cos ф) +
П
+ 2Z'&TWp"(cos0)P"(coS(p)cosA:'If- (L,5)
fe-1
Присоединенные функции Лежандра определяются соотношениями
Р*(х) = (-1)*(1-х2)*/2-^-Р"(*), -1 <х < 1, k=\ п.
dxR
(L.6)
Еще раньше Лагранж получил эти же многочлены как решения разностного
уравнения
(2 п + 1) хР " (х) = (п + 1) Рп+1 (х) + яР"_, (х). (L.7)
Каждая из приведенных выше формул - только одна из об-
ширного класса формул для специальных функций более общего вида. Чтобы
продемонстрировать эти формулы, мы ниже приведем соответствующие
результаты для тригонометрических функций, а затем укажем условия их
применения. Поскольку cos "0 - многочлен степени п от cos 0, рассмотрим
функцию ^"(cosO), определяемую соотношением 7"(cos 0) = cos "0:
i
5 Тп (х) Тт (х) (1 - х2)-1/2 йх = 0, тфп, \[Tn(x)f(\-x2rmdx = ( " =
0,
_\ I Ф> п= 1, 2, ...
Л
^ cos "0 cos m0 dQ = 0, т=Фп,
-l
l
(T.l)
i cos2 "0 d0 = ( я* ra = °>
? l л/2, n
(T.l a)
1, 2,
einQ+e-inQ
COS "0=----------^------------. (T.2)
COS "0 COS "Ф = */a [cos n (0 + ф) + cos n (0 - ф)]. (T.3)
(1 - x2) у" - xy' + n2y = 0, у = Tn (x). (T.4)
u" (0) - n2u (0) = 0, и ~ cos n0, (T.4a)
18 Предисловие редактора серии
cos п (0 + <р) = cos "0 cos шр - sin "0 sin шр.
(Т.5)
d cos л0 . n
-"7q- = - /г sin "0,
(Т.6)
2 cos 0 cos "0 = COS (tl - 1)0 + cos (tl - 1)0. XT n (x) = lhTn+i (x) +
xhTn_i (x), n=l, 2, ..., xTQ (x) = Tl(x).
(T.7a)
(T.7)
Соотношения ортогональности (L.l) и (T.l) являются фундаментальными.
Поскольку Рп{х) и Тп(х)-многочлены, эти многочлены ортогональны. Для
любого семейства многочленов от одной переменной, ортогонального
относительно некоторой положительной меры, выполняется трехчленное
