Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если W е мы имеем W е и Q'F = 0. В силу (1.2) QVY = LQ'F
- RQW = 0 и, следовательно, L4 <= вГ0. Я
Кроме того, нетрудно показать, что если некоторый оператор L вида (1.1)
отображает решения 'К уравнения Q'F = 0 в решения, то L удовлетворяет
соотношению коммутирования
(1.2) для некоторого R е 2Г. (Однако неизвестно, будет ли справедливо это
утверждение для произвольного линейного дифференциального уравнения
второго порядка.)
Теорема 1.2. Множество 23 операторов симметрии является комплексной
алгеброй Ли, т. е. если Lu L2 е 2?, то
(1) для всех аь и2еС,
(2) [Llf La]e&
Доказательство. Поскольку L\, L2 е 2?, эти операторы удовлетворяют
уравнениям [Ly, Q] = Rj{x)Q, где Rj^&~, / = = 1, 2. Простым вычислением
можно показать, что оператор первого порядка L = a\L\-\- a2L2
удовлетворяет соотношению
(1.2) при R = aiRi + a2R2. Подобным же образом оператор L= [Li, L2] -
оператор первого порядка, удовлетворяющий соотношению (1.2) при R = L\R2
- L2R\, где в соответствии с
(1.1) L = ?+Z(x). В
Замечание. Не исключено, что 2? может быть бесконечномерной алгеброй Ли,
хотя в рассмотренном нами примере dim ? = 4.
А теперь в явном виде вычислим алгебру симметрии уравнения (0.1).
Подставляя (0.2) и (1.1) в (1.2) и вычисляя коммутатор, находим
2Ххдхх + 2 (Ху + Yx) дху + 27удуу + (Ххх + Хуу + 2Z*) дх +
+ (Ухх + Yуу + 2Zy) ду + (Zxx + Zyy) = - R (дхх + дуу + со2). (1,3)
Чтобы это операторное уравнение было справедливо при применении к
произвольной функции необходимо и доста-
точно, чтобы коэффициенты при дхх, дуу и т. д. в обеих частях уравнения
были одинаковы:
(а) 2Xx = -R = 2Yy, Xy + Yx = 0,
(б) Ххх -|- Хуу + 2Z* = 0, Yхх + YуУ + 2Zy = 0, (1.4)
(в) Zxx + Zyy = - Ra2.
Из уравнений (1.4а) следует, что Xx=Yy и Xy = -Yx. Следовательно, Ххх +
Хуу = Yxy - Уху = 0; подобным же образом Yxx + Yyy = 0. Сравнивая эти
соотношения с уравнениями (1.46), можно видеть, что Zx = Zy= 0, откуда Z
= 6 константа. Из
36 Гл. 1. Уравнение Гельмгольца
(1.4в) вытекает, что R = 0. Тогда из уравнений (1.4а) имеем Х=-Х(у),
У=У(х), причем Х'(у)= - Y'(x). Из последнего соотношения следует, что X'
=-f' = у е С, Итак, общим решением уравнений (1.4) является
Х = а + уу, y = p-Y;t, Z = б, R = 0, (1.5)
и оператор симметрии L имеет вид
L = (а + уу) дх + (Р - ух) ду + б. (1.6)
Ясно, что алгебра симметрии S' четырехмерна и имеет базис
Р1 =дх, Р2 = ду, М = удх-хду, Е- 1, (1.7)
получаемый при а = 1 ир = у = б = 0 для Pi, р = 1 и а = у =
= 6 = 0 для Р2 и т. д. Легко проверить, что соотношениями коммутирования
для этого базиса будут
[Pi,P2] = 0, [М, PJ = Р2, [М,Р2] = -Р1 (1.8)
и [Е, L] =0 для всех LeS\ Оператор симметрии Е не пред-
ставляет для нас никакого интереса, поэтому мы его не рассматриваем, а
сосредоточим внимание на трехмерной алгебре Ли с базисом {Р\,Р2,М} и
соотношениями коммутирования (1.8). Кроме того, в силу некоторых
соображений, смысл которых станет вскоре понятен, мы ограничимся
рассмотрением вещественной алгебры Ли &(2) с базисом (Pi, Р2, М}, т. е.
алгебры Ли, состоящей из всех элементов вида aPi + рРг + уМ, где а, р, у
принадлежат полю вещественных чисел R. Алгебра <§Г(2) изоморфна алгебре
Ли евклидовой группы Е(2) плоскости R2. Чтобы показать это, рассмотрим
известную реализацию группы Е(2) как группы (3 X 3)-матриц. Элементы Е(2)
имеют вид
cos 0 - sin 0 0
g(0, а, Ь) =
sin 0 cos 0 0
- а Ь 1-1
a, fie R,
0 ^ 0 < 2я (mod 2я),
(1.9)
а групповое произведение дается умножением матриц g (0, a, b) g (0', a',
b') = g (0 + 0', a cos 0' + b sin 0' + а',
- a sin 0' + b cos 0' b'). (1.10)
Группа ?(2) действует как группа преобразований в данной плоскости. В
самом деле, элемент группы g(0, a, b) отображает точку х = (х, у) в R2 в
точку
хё - (х cos 0 + у sin 0 + а, - х sin 0 + у cos 0 + Ь). (1.11)
1.1. Группа симметрии уравнения Гельмгольца 37
Легко проверить, что x(gtg2) = (xg\) g2 для всех xg^2, gi, g2 е е Е (2) и
что xg (0, 0, 0) = х, где g (0, 0, 0) - единичный элемент группы Е(2).
Геометрически g соответствует повороту на угол 0 по часовой стрелке
относительно начала координат (0, 0) с последующим переносом на (а,Ь)..
Вычисляя алгебру Ли матричной группы Е(2) обычным способом (см.
приложение А), находим, что базис для данной алгебры Ли задается
матрицами
'0 -1 0 - '0 0 0 - ¦0 0 0 -
м = 1 0 0 . л = 0 0 0 , р2 = 0 0 0
-0 0 0 - -1 0 0 - -0 1 0 -
с соотношениями коммутирования, тождественными (1.8). (Здесь коммутатор
[А,В\ двух (п X ")-матриц является матричным коммутатором \А,В\ =АВ -
ВА.) Следовательно, алгебра симметрии S'(2) изоморфна алгебре Ли группы
Е(2).
Из алгебры Ли с базисом (1.12), применяя экспоненциальное отображение,
можно построить общий элемент группы (1.9). В самом деле, легко показать,
что
g(0, a, b) = ехр (0Л4) ехр {аРх + ЬР2), (1.13)
где
сю
ехр(А)= ? (k\)~lAk, А° = Еп, (1.14)
/г =0
для любой (п х л)-матрицы А (здесь Еп - единичная (п X п)-матрица).
Используя классические результаты теории алгебр Ли (см. приложение А),
