Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Миллер У. -> "Симметрия и разделение переменных" -> 8

Симметрия и разделение переменных - Миллер У.

Миллер У. Симметрия и разделение переменных — М.: Мир, 1981. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyairazdelenieperemennih1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 122 >> Следующая

впрочем, вполне вероятно, что он прав, так как в 1811 г. Гаусс
опубликовал формулы, связанные с этим результатом.
Одним из наиболее важных рядов является ряд
Z qn'xn = (?2; <?2)оо (- <?2)оо (- qx~u. q2)*"
- оо
сумма которого представляет собой известную тэта-функцию. Этот результат
был не первым примером билатерального ряда (ряда, бесконечного в обоих
направлениях), поскольку
nctgn2=lim У -- ь Z-i z -
= V Г_!_____________________!___
Z-i \z - m l/a - *п ) L-i (m -
Z (z - nf '
(l/2 - г)
z) (tn - Va)
(sin nz)
nos -00
тем не менее это было весьма плодотворным открытием. Первоначально Якоби,
исследуя эллиптические функции в Funda-menta Nova Theoriae Functionum
Ellipticarum (1829 г.), получил результаты для тэта-функций (как
следствия результатов для эллиптических функций). Позднее он обратил эту
процедуру и использовал тэта-функции, чтобы получить результаты для эл-
оо
липтических функций. Функция yiqn,xn появилась в работе
- ОО
Фурье, посвященной анализу уравнения теплопроводности, а Пуассон получил
очень важное преобразование этой функции,
24 Предисловие редактора серии
но тот факт, что эта функция является фундаментальной, установил и
объяснил Якоби. Недавно для этой функции были получены новые результаты,
позволяющие применить к ней теоретико-групповые методы исследования,
подобные тем, которые были указаны нами выше. Соответствующей группой
является трехмерная группа Гейзенберга, т. е. группа матриц
(см. работу Картье [5], а также Ауслендера и Толимьери [ 1 ]).
Другими примерами аналогов гипергеометрических рядов являются многочлены,
получающиеся как сферические функции на дискретных двуточечно однородных
пространствах в результате действия на эти пространства некоторых групп
Шевалле. Пока еще рано говорить, какое значение будут иметь эти функции,
но я твердо уверен, что, развивая эту идею, мы получим важные результаты.
В девятнадцатом столетии эллиптические функции были исследованы самым
подробным образом и, казалось бы, заняли определенное место в
математическом образовании. Усилия ученых постигнуть смысл этих функций
породили много идей. Однако сами эти функции оказались не столь
полезными, как можно было ожидать, и поэтому их место в общепринятых
программах обучения математике заняли другие, представляющиеся более
полезными понятия, и в течение десятилетий эллиптические функции были
известны лишь ограниченному кругу ученых-теоретиков, некоторым
специалистам, занимающимся прикладными вопросами, и немногим инженерам. В
настоящее время каждый, кто изучает и применяет комбинаторный анализ,
стремится узнать как можно больше об упомянутых выше аналогах
гипергеометрических рядов. Сюда можно отнести специалистов в области
статистики, занимающихся блочным планированием, и многих специалистов,
которые изучают и применяют в своей работе вычислительные алгоритмы. Эти
ряды играют важную роль в теории разбиений, которой посвящен второй том
("Теория разбиений") настоящей Энциклопедии.
Большим вкладом в развитие учения о специальных функциях в прошлом
столетии было введение дифференциальных уравнений более чем с тремя
регулярными особыми точками, Риман заметил, что дифференциальное
уравнение Эйлера
х(1 - х)у" + [с - {a + b+ \)х]у' - aby = 0, y = aFl^a,J>
Предисловие редактора серии 25
имеет регулярные особые точки в х = 0, 1, се и что при помощи дробно-
линейного преобразования эти особые точки можно переместить в три
произвольные точки. Полученное в результате дифференциальное уравнение
определяется положением этих особых точек и некоторыми параметрами,
характеризующими природу решений в окрестности этих точек. Риман показал
простой способ получения результатов Гаусса, Куммера и некоторых
результатов Якоби, относящихся к гипергеометрическим рядам, и нашел
кубическое преобразование, которое до сих пор еще по-настоящему не
понято. Однако истинная ценность его работы состоит в установлении того
факта, что особые точки дифференциального уравнения дают гораздо больше
информации о его решении, чем это предполагалось. Впоследствии были
предложены и другие дифференциальные уравнения, например уравнения Хойна,
Матье, Ламе и уравнения для сфероидальных волновых функций, часто
получающиеся при разделении переменных в волновом уравнении или уравнении
Лапласа, вследствие которого эти уравнения сводятся к обыкновенным
дифференциальным уравнениям. Решения этих уравнений являются интересными
специальными функциями, значительно более сложными, чем
гипергеометрические функции. До сих пор все еще непонятно, какой подход к
изучению этих функций является наилучшим, и можно надеяться, что
алгебраические методы, предлагаемые Миллером в его книге, дадут нам
возможность действительно понять эти важные функции.
Аппель ввел гипергеометрические функции от двух переменных и установил
для них результаты, аналогичные некоторым результатам, полученным для
обычных гипергеометрических функций. Однако, несмотря на то что мы
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed