Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы определить Г(х). Естественное условие, в силу которого мы имеем
единственное решение и которое было установлено Бором и Моллерупом,
состоит в следующем: функция 1пГ(х) является выпуклой при х > 0.
Современное поколение математиков проявляет большой интерес к структурным
условиям, и данная теорема является прекрасным образцом результатов,
которым современные математики дают высокие оценки. Теорема эта очень
красива и полезна, но не следует забывать, что истинная причина, почему
мы проявляем повышенный интерес к гамма-функции и детально изучаем ее,
заключается в том, что она чрезвычайно полезна. Она встречается столь
часто, что мы просто вынуждены заниматься ею. Это как раз один из многих
примеров того, как математическая эстетика и полезность совместно
указывают нам путь исследования. Почему эго происходит, все еще остается
тайной.
Изучение факториала и гамма-функции привело к развитию целого ряда
основных математических идей, нашедших применение в различных областях
науки. Одним из наиболее полез-
•) В отечественной литературе эта теорема называется теоремой Гёльде-ра.
- Прим. ред.
Предисловие редактора серии 13
ных достижений явилось введение понятия асимптотического разложения.
Стирлинг нашел способ вычисления п! при больших п. Полученный им ряд не
сходится, но при помощи этого ряда можно получить очень точные значения
п\. Используя формулу Эйлера
Г (х) Г (1 - х):
можно получить аналитическое продолжение гамма-функции из области Rex>0 в
область Rex<l, хфО, -1, ... . Та же формула вместе с одним из бесконечных
произведений для Г(х) дает произведение Эйлера
sm пх
пх
я-1
П0--Й-
Это произведение, а также произведение, полученное нами выше для 1/Г(х),
и некоторые произведения для эллиптических функций и тэта-функций, о
которых речь пойдет ниже, привели Вей-ерштрасса к его теореме о
разложении целых функций в произведение, а логарифмическая производная от
произведения Вейерштрасса привели Миттаг-Лефлера к его теореме разложения
для мероморфных функций.
Вернемся к гипергеометрическому ряду. Гаусс показал, что
V (а)п(Ь)п _ v (а' b\ 1 Г (с) Г (с-a-A) n_ п
2Ч с )~ Г (с - а) Г (с - b) Re (с-а-Ь)>0.
п-0
При с - '/г. а = х, Ь- -х эта формула принимает вид
(х, - х I N гр (i/,)i*
1/2 I 1 ) Г ('/г - х) Г (1/2 + х) ^ Sil1 Я + Х) ~ C0S ЛХ•
(а, Ь\ \
Первым функцию 11 \х ) в °^щем слУчае изучил Эйлер,
Он получил дифференциальное уравнение второго порядка, которому эта
функция удовлетворяет, дал формулу преобразования
с -а, с - b j с
и интегральное представление
2Г 1
СVI0"T(S)T$b) Soо-<Г-Л
14 Предисловие редактора серии
Пфафф, занимаясь посмертным изданием работ Эйлера, нашел еще две формулы
преобразований. Он получил обе формулы для случая, когда ряд конечен, но
одна формула легко переносится на случай бесконечного ряда. Это следующие
формулы:
Используя первую формулу, Эйлер рассмотрел целый ряд примеров
преобразований рядов, ускоряющих сходимость. Напри-
выполнящтся легко и сравнительно недорого, нам трудно представить себе,
как желание что-либо вычислить могло стимулировать столько математических
исследований. Эти формулы преобразований вместе с преобразованием Эйлера
были первыми из немногих открытых за последние два столетия формул
преобразований обобщенных гипергеометрических рядов. Еще одной формулой
преобразований является полученная Регге формула симметрии для упомянутых
ранее (3 -/) -символов. Гаусс нашел правильное обобщение второй формулы
преобразований Пфаффа на случай бесконечного ряда. Если в множителе
-я заменить на а, то, как можно догадаться, этот множитель примет вид
но это не единственное изменение: следует добавить еще один член.
Гаусс занимался исследованием результатов и иного вида. Он считал два
гипергеометрических ряда смежными, если все их параметры, за исключением
одного, совпадают, а несовпадающие параметры различаются на единицу. Он
показал, что
функции 2Fi линейно независимы. В силу симметрии функции
и
мер, при х = -
С а, b 1 ряд a/7! I с - 1
сходится медленно, а ряд
быстрее. В век, когда вычисления
(с - Ь)п Г (п + с - Ь) Г (с)
(с)" Г (п + с) Г (с - Ь)
Т {с - а - Ь)Т (с) Т(с-а)Т (с-Ь) '
функция общего вида
смежные с ней
Предисловие редактора серии 15
(а, Ь\ \ " _
2Fi I л: I по а и b имеется девять таких соотношении. Эти
соотношения для смежных функций можно итерировать и таким
/я "Ь /> ь -ф k I \
образом показать, что любые три функции 2F\ ^ с _|_ ^ \х )'
где j, k, I - целые числа, будут линейно независимыми. Поскольку
dx 21 с | / с \ С+1 \Х)'
легко видеть, что дифференциальное уравнение Эйлера для
г- ( а' Ь\ \
2 v с \Х ) можно представить в виде одного из этих итерированных
соотношений для смежных функций. Это разностное уравнение было дано
Гауссом в конце его единственной опубликованной работы по
гипергеометрическим функциям. В своей второй работе, которая так и не
была издана при его жизни, Гаусс, рассматривая это уравнение как
дифференциальное уравнение, получил большую часть явных формул, которые
