Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В результате такого отождествления вместе со специально подобранным условием (4.13) все эффекты движения частиц в гравитационных
109
OfM* = _2 K/^; = О,
* ^
(4.12)
правилу ? I ^iv - J придается смысл тензорного тока, сохраняющегося
условиями Гильберта. Ho если "потенциал" fсвязывать с метрикой 9Iiv линейно, то мы не получим всех классических эффектов ОТО с теми
M V •
V-V * V - lielVfX * 11/41 *->>><„t 'l * V* + '’•V'x/*'’ * 6^VfXf?1''
(4.13)
полях, предсказываемые и описываемые ОТО, предсказываются и описываются в теории с минимальной связью. Естественным следствием этой теории является известная формула для мощности гравитационного излучения (впервые выведенная в рамках ОТО)
-d$ /dt = (7/45cs ) D ' 'Diiv ,
используемая, в частности, для согласующихся с наблюдениями расчетов потери энергии в двойной системе PSR 1913 + 16, одна из составляющих которой - пульсар.
Теория Эйнштейна вполне удовлетворительно объясняет факт ускорения вращения пульсара вокруг своего компаньона потерями энергии на гравитационное излучение; другие теории приводят к результатам, противоречащим наблюдениям (в том числе и 2-метрическая теория Розена [118], которая предсказывает, показано Биллом [16], увеличение периода взаимного обращения компонентов двойной системы RSR 1913+16).
Авторы теории с минимальной связью подчеркивают принципиальное отличие ее от теории гравитации Эйнштейна. Как и Розен [117], они говорят о том, что в их теории выполняется только специальный принцип относительности, т.е. в ней "меньше относительности", чем в теории Эйнштейна, и "при наличии взаимодействия с внешними гравитационными полями скорость света, как и скорость движения любых тел, не является постоянной". Такого рода заключения, как и в случае оригинальной 2-метрической теории, носят скорее интерпретационный характер. Действительно, абстрагируясь от максвелловской полевой концепции, нетрудно дать и иное толкование теории с минимальной связью. Для этого остановимся на математической стороне этой теории. Легко заметить, что лагранжиан (4.9) представляет собой линейное приближение эйнштейновской функции Лагранжа (без дивергенциальной части):
Lg = (1/2- 1^г?,> (4.14)
при линеаризации
9 Iiv ~ eIiv + ^fiv ” Iiv^ (4.15)
Подставляя (4.15) в (4.14), находим
Lg* (1/8Ю I-Ifa^Pfapv + V,* ¦ <1/2>'х,рСР].(4.16)
где первое слагаемое преобразуется в полную дивергенцию при условии f^v = 0 (содержащимся и в теории с минимальной связью) :
fCLV, Pf = IfCLV, Pf V _ fav, р f
1 ар, v и ' ар’' v , v ар '
т.е. (4.16) в точности эквивалентно (4.9). Варьируя (4.16) и лагранжиан источника по f^iv, естественно приходим к уравнениям (4.12) — линеаризованным уравнениям Эйнштейна с условием Гильберта. Однако решения этих уравнений описывают лишь ньютоновские эффекты: метрика разложена в ряд с точностью лишь до линейных членов по пере-110
менным функциям. Добавляя в разложение (4.15) слагаемые с неопределенными коэффициентами, квадратичные по f р, можно добиться согласования теории с постньютоновским описанием известных гравитационных эффектов. Можно сказать, что установление такой "минимальной связи" — первый шаг в итерационной процедуре Гупты [77] — построения лагранжиана теории Эйнштейна последовательным учетом в разложении метрического тензора слагаемых все более высокого порядка по малому параметру. В этом смысле теорию с минимальной связью можно трактовать как несамосогласованное первое приближение общей теории относительности Эйнштейна.
Тем не менее интересным представляется используемый авторами этой теории способ вывода "метрического" тензора энергии-импульса
гравитационного поля t^v варьированием лагранжиана по метрике плоского пространства времени (которая в теории с минимальной связью является тензором, и поэтому t^v также обладает тензорными свойствами — это общая черта всех двуметрических теорий). Ho так как в качестве лагранжиана взята лишь часть лагранжиана теории Эйнштейна (или его 2-метрического расширения в теории Розена [117]), то и общее выражение для t^v получилось довольно громоздким (формулы (7.8) и (7.9) в работе [29]), поэтому его не приводим.
Здесь следует отметить, что получение симметричной величины, отождествляемой с тензором энергии-импульса гравитационного поля (в пространстве-времени без источника), как результата варьирования лагранжиана дву метри ческой теории по метрике сравнения, было предложено раньше Д.Е. Бурланковым [15], исследовавшим с этой точки зрения первоначальный вариант теории Розена. На наш взгляд, результат исследования, изложенного в этой работе, замечателен: мы вновь встречаемся с уже знакомой величиной, но приходим к ней с иных позиций.
4.3. ТЕНЗОР ПАПАПЕТРУ И ЕГО СВЯЗЬ С ТЕНЗОРОМ БЕЛЯ-РОБИНСОНА
Прямым вычислением Д.Е. Бурланков [15] продемонстрировал, что если встать на точку зрения двуметризма, не изменяя формул теории Эйнштейна, а лишь тождественно преобразуя их, и не фиксировать с самого начала принадлежность метрики сравнения к плоскому пространству-времени, то результатом варьирования функции Лагранжа вида (4.13), но записанного с помощью двуметрического тензорного продолжения связности, оказывается в точности величина, выведенная Папапетру (4.3):
