Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура" -> 38

Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В., Ефремов А.П., Нестеров А.И. Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikapoleyobsheyteorii1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 75 >> Следующая


Простейший пример квазигруппы преобразований возникает в гамильтоновой механике со связями. Если в фазовом пространстве действует группа преобразований, то оказывается, что на поверхностях, удовлетворяющих уравнениям связей (на связях), она индуцирует, вообще говоря, квазигруппу преобразований [8]. Примечательно, что в случаях, когда бесконечная группа Ли задается через AS-систему, т.е. линейную однородную систему дифференциальных уравнений, для которой коммутатор двух векторных полей (решений этой системы) снова есть решение [94] ,она является конечнопараметрической квазигруппой.

Развитие геометрии в последние годы выявило глубокую связь между неассоциативными алгебраическими и дифференциально-геометрическими структурами. Так, Л.В. Сабининым [121] было показано, что многообразие с линейной связностью можно рассматривать как специального вида алгебру (в общем случае неассоциативную) с частичными операциями. В этой конструкции важную роль играют левые геодезические лупы. (Лупы отличаются от групп лишь тем, что операция умножения в них неассоциативна.) Весьма впечатляет то обстоятельство, что неассоциа-тивность является алгебраическим эквивалентом кривизны и кручения.

Квазигруппы преобразований. Пусть р ЄШ - некоторая точка на многообразии т (здесь Ш не обязательно пространство-время), задаваемая в локальной карте координатами {х\ і =1, 2, . . . , п. Кроме того, пусть заданы п независимых функций f (х, в), где параметры ва (а = 1, 2, ..., г) существенны, т.е. ранг матрицы df* /два равен г. Уравнениях'7 = = Ґ (х, в) для каждрго фиксированного набора параметров {0Э} определяют преобразование точки р (х) в точку р'(х') . В силу предположения о независимости функций f (х, в) якобиан преобразования отличен от нуля, и, следовательно, существует обратное преобразование

Xі = f'V, в) .

97
В дальнейшем будем предполагать, что функции f l (х, в) обладают необходимой степенью гладкости по координатам и параметрам.

Запишем преобразования координат символически в виде

х' = XTq . (3.55)

Множество преобразований {7^} образует непрерывную квазигруппу преобразований, если

1) задан закон умножения преобразований:

хТв T0, = XTtpie 0.. х), причем

?>а (в, 0; х) = в3 и / (0, в'- х) = в'а ;

2) операция умножения параметров квазиассоциативна:

?(6, ір(в\ в"; xTq)\ х) = <р(<р(в, вх), вх) ;

3) существует обратное преобразование: х = x'Tq *;

4) преобразование T0 : хТ0 = f (х, 0) — тождественное.

Этими соотношениями определено правое действие квазигруппы на Ж, аналогично определяется левое действие. Как видно из определения, умножение в квазигруппе, в отличие от группы, зависит от точек многообразия Ж.

Генераторы инфинитезимальных преобразований определяются с помощью соотношений

га

df1<х,0) дв3

0=0 Ъх‘ а Э*'

Э

= R1 (ж) —- . (3.56)

причем при их коммутировании возникают не структурные константы, а структурные функции

[Га, Гй] = Ccab Wrtf. (3.57)

Они удовлетворяют модифицированным тождествам Якоби

¦ Cc* ¦ cfA * СІЛ, - °- 13 58I

Теорема [8]. Пусть даны функции R1g и Cabc, удовлетворяющие уравнениям (3.58); тогда локально квазигруппа преобразований восстанавливается как решение систем дифференциальных уравнений:

Эх • н

---- = /?'(х)Х*(0, х);

Ъва d 3

Z(O) = Xі ;

98

(3.59)
к

двс

эх!

+ <4- °'

(0, х)

дв‘

= ба

Ь •

(3.60)

Система уравнений (3.59) — аналог уравнений Ли, а система (3.60) — условие интегрируемости — является аналогом уравнений Маурера— Картана в теории групп Ли.

Дальнейшее рассмотрение ограничим инфинитезимальным вариантом теории. Будем предполагать, что квазигруппа преобразований действует на многообразии Pt имеющем структуру расслоенного пространства, т.е. локально P=^xf, где Ш— база (здесь и ниже Ш— пространство-время) ; F — слой. Для наших целей достаточно рассмотреть случай главного квазигруппового расслоения, т.е. когда слой F как многообразие совпадает со структурной квазигруппой Q. Пусть {Xа} — локальные координаты наЖ и I/4} — локальные координаты на Q: a =

= 0, 1, 2,3; А = 1,2......./?. Тогда каждая точка р Є P имеет

координаты (х, q) = (xa, Ya), х ElTJL, q Є Q. Слой F = Qx определяется как Qx = 7Г1 (х), где я — каноническая проекция, дей-

ствующая в локальных координатах естественным образом: я (x, q) =х.

Инфинитезимальная квазигруппа преобразований полностью описывается ее генераторами Г/ и структурными функциями Cp.. :

Ir,. Г,I - Cjr,;

здесь индексы i, j, р пробегают полный набор значений (а, А) . Обозначим генераторы, касательные к слою (т.е. вертикальные векторы),

С Ь. у)ЫЪув

(3.61)

~А uA

и оставшиеся четыре генератора, действующие на базе,

Ta = Ьр(х, у)ЫЪхр + В*(х, у) ЫЪуА. (3.62)

После такого разбиения совокупности генераторов на две группы коммутационные соотношения примут вид:

ITn

и.

00 lA

C‘.ALB'

ЦІ -caAB7a* cABlO

(3.63)

Для того чтобы коммутатор вертикальных векторных полей, касательных к слою, оставался вертикальным вектором, необходимо потребовать (?АВ =0.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed