Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Экспоненциальное отображение [74]. Пусть задана геодезическая 7 (Г) : [0,1] ~+Жс начальными условиями 7(0) = q, d^ (0)/dt = у. Точ ка 7(1) € ^обозначается exp^ (у ) и называется экспонентной касательного вектора. Всю геодезическую можно представить в виде 7 (Г) = = ехр^ (fv ). Экспоненциальное отображение является двухточечной функцией и определено в достаточно малой окрестности точки q. Под словами "достаточно малой" подразумевается, что точка q может быть соединена с любой точкой р из этой окрестности единственной геодезической. Таким образом, exp^ (у ) действует по схеме:
Tq(M) -*Ш: [q, v) -> ехР<7 [v ).
В дальнейшем важную роль будет играть то обстоятельство, что все геодезические, выходящие из q, являются ортогональными траекториями гиперповерхностей (ехр<у (v): g {у, у) = const). Если задать двупараметрическое семейство кривых f (s, t) = expQ (sv(t)), определяющее некоторую 2-мерную поверхность, то последнее утверждение можно переписать в виде
g[bf/bs, bf/bt) = 0.
В некоторой окрестности точки q экспоненциальное отображение является
116
Рис. 5.1. Девиация геодезических, определяемая полями Якоби с различными начальными условиями
о)
б)
диффеоморфизмом. Эту окрестность называют нормальной окрестностью точки <7. Пусть еа — базис в Tq(M) и р = expQ (xaea); тогда функции Xа
называют нормальными координатами точки р.
Поля Якоби [74]. Поля Якоби связаны с девиацией ґеодезических и определяются как решение дифференциального уравнения девиации геодезических (см. также § 1.5):
vuvuV + R (*?, и)и = О-
Интуитивно векторное поле і? можно представлять как поле векторов, соединяющих бесконечно близкие геодезические y(t) = И$о, из двупараметрического семейства кривых f (s, t). Один из возможных способов получения полей Якоби, как видно из этого замечения, состоит в перемещении геодезических. Поскольку уравнение девиации является уравнением второго порядка, то вдоль каждой геодезической существует 2п независимых полей Якоби с начальными условиями 7}|ф и br\!bt I9 . Их можно разбить на два класса:
a) rt\q = 0, Эт?/дгIq Ф 0; б) v\q Ф 0, br\!bt\q = 0
(рис. 5.1). В § 5.3 Показано, что поля Якоби с начальными условиями (1) естественным образом определяют повороты, а поля с начальными условиями (2) - сдвиги в искривленном пространстве-времени.
Нормальная система отсчета Ферми. Возможность построения нормальных координат Ферми, обобщающих нормальные римановы координаты [106, 164], связана с теоремой Ферми [141], суть которой состоит в том, что на римановом многообразии для любой наперед заданной кривой у можно ввести координаты в некоторой трубке, окружающей у, так, чтобы 9^р\у = V^jlv и символы Кристоффеля обращались в нуль = 0.
Описание фермиевских нормальных координат, но только для геодезического движения наблюдателя, было впервые дано в [69].
Пусть у (г) — произвольная временноподобная кривая; можно отождествить ее с мировой линией некоторого наблюдателя. Будем считать, что кривая параметризована собственным временем этого наблюдателя. Перенос ортонормированного базиса, определяющего его собственную систему отсчета, осуществляется вдоль 7 по правилу
v те а ” ^ * eCL “ ^ ^ ' еа ^ '
где
&»> = Gl1Tv - Gvi* + TyOJ8E^v;
T^e0- 4-скорость наблюдателя; G — 4-ускорение; со — угловая скорость'
117
вращения базиса относительно базиса, переносимого по Ферм*—Уокеру. Для любой точки P существует единственная пространственная геодезическая, ортогональная к у соединяющая ее с некоторой точкой P0 на у. Используя экспоненциальное отображение, запишем геодезическую
P0P:
P = ехр7(т) (Х?), где ? = Э/ЭХ = ?' е,-;
X — канонический параметр. Нормальные координаты Ферми Xa определяются по правилу
*° = г; Xі = Х?'*, (5.1)
где Х? = exp“ !jrj (P), и (?, ?) = —1. Как легко видеть, на у(т) базис еа совпадает с натуральным базисом, т.е. еа = Э/ЭХ**.
Фермиевские нормальные координаты являются естественным обобщением лоренцевой системы отсчета в СТО на случай искривленного про-странства-времени. Размеры мировой трубки, в которой эти координаты регулярны, находятся из условий [90]
I R^i , I
11 1 v\p'
Ie Г l«l ' IAefteIlrt ' I^xp;а1
(5.2)
Условие X < 1/| GI определяет область, где геодезические, испущенное из у(т) в различные моменты времени, не пересекаются. В области X < I/1 со I линейная скорость точек не радиальных геодезических не превышает скорости света. В области X < 1/1 #11/2 радиальные геодезические не пересекаются. Наконец, последнее из условий (5.2) определяет область, внутри которой тензор кривизны не меняется существенным образом. Оно связано с ограничением на порядок разложения метрического тензора в нормальных фермиевских координатах.
Из определения (5.1) следует, что внутри мировой трубки выполняются соотношения 0, причем на мировой линии наблюдателя
1V 80п?-
Для метрического тензора в нормальных координатах Ферми справедливо следующее разложение [84]:
•V ¦ V * 25IiAi,,*'' * *
+ 5j5 I^lakSlapXpXk + (1/3) 5°^ /?v) pik XP Xl + OIX3), (5.3)
