Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
точкам приписывались одни и те же значения координат) или же признать вторую метрику "метрикой сравнения": таким было бы пространство-время в отсутствие источников гравитационного поля (и, естественно, его самого). Автор двуметризма подчеркивал при этом, что введением второй метрики многообразию, исследуемому с помощью guv, не приписывается никаких новых свойств.
Важнейший пункт теории Розена состоит в том, что метрика е описывая плоский мир, обязательно должна быть тензором, т.е. не оставаться метрикой Минковского при преобразованиях координат. Тогда после введения ковариантной относительно производной и согласованной с ней связности (мы придерживаемся обозначений, принятых в работе
Мицкевича [77]), таких что
eIivW ~ eIivtX ~ eIiarVX ~ eCtv^IiX ~
где T^a стандартным способом выражается из (4.5) через частные производные ,
^vX ~ ^eCtvtX + eCiXl V “ evX,a^'
находим, что разность символов Кристоффеля и связности
представляет собой геометрический объект, имеющий смысл связности, и является тензором (в силу одинаковых трансформационных свойств Г и 7) по отношению к допустимым преобразованиям координат; эта разность и выражается через е-ковариантные производные римано-вой метрики:
nSx - ¦ итя* * »*,„ -
Поскольку метрика есоответствует плоскому миру, то построенный из нее тензор кривизны тождественно равен нулю, и тензор Римана, и все его свертки выражаются только через метрику gи величины п?х-
105
В частности, тензор Риччи имеет вид
f^liv = + ^aix\v “ + tyiflav *
(4.6)
Как выяснилось, все соотношения общей теории относительности можно переписать с помощью и е-ковариантных производных, что дало Розену основание считать этот формализм, казалось бы, не затрагивающий математических основ теории Эйнштейна, применимым для определения настоящего тензора (его плотности) энергии-импульса гравитационного поля в виде, аналогичном виду псевдотензора Эйнштейна, но с заменой всех "отпреобразуемых слагаемых" е-ковариантными. Таким образом предлагалось избавиться от парадокса Бауэра. Другим привлекательным аспектом двуметризма представлялась возможность определения кова-риантных дополнительных условий, обеспечивающих однозначность функций метрики (число которых превосходит число уравнений Эйнштейна, 4 из которых удовлетворяются в силу тождеств Бианки). Действительно, выражая, например, условие де Дондера-Ланцоша—Фока
= 0 и заменяя в нем частную производную е-ковариантной, получаем по-настоящему ковариантное дополнительное условие для функций метрики су ^ = 0, выполняющееся во всех системах координат (хотя выбор самих условий, конечно, по-прежнему произволен) .
Трактовка теории гравитации с позиций двуметризма привела к любопытной ситуации. С математической точки зрения ничего не изменилось: всегда выбором е = const от двуметрического формализма можно перейти ко всем соотношениям общей теории относительности, и уравнения поля остаются, по существу, теми же. Ho смысл присутствующих в теории фундаментальных величин качественно изменяется. Теперь само пространство-время (без гравитации) всегда плоско, а на его фоне рассматривается меняющийся потенциал д . причем ds2 = g^vdx^dxv не считается больше физическим интервалом. В распоряжении наблюдателя имеется теперь его собственный стандарт 4-мерной длины do2 = е^iv </*W и есть принципиальная возможность на-
людать изменение масштаба в гравитационном поле. Как в этой связи отмечал сам автор двуметрического подхода к гравитации [117], в его теории "меньше относительности", чем в теории Эйнштейна. Так, скорость света (с точки зрения наблюдателя в е ) оказывается меньше там, где д Ф е чем в плоском мире, т.е. поле тяготения трактуется как некоторая оптическая среда, имеющая отличный от 1 коэффициент преломления. Статическое гравитационное поле приобретает смысл абсолютной системы отсчета; при движении же его относительно наблюдателя (или наоборот) оно "увлекает" свет за собой, как это предполагалось в опыте Физо. Движение частиц с ненулевой массой покоя в теории Розера также имеет свои особенности. Наблюдателю приходится измерять зависимость координат пробной частицы по отношению к своему стандарту а, тогда как уравнение геодезических имеет своим параметром "нефизическую" величину 5. Переход к "нужному" параметру осуществляется введением
106
массы в уравнения движения, которые (тождественно!) переписываются в виде
где D/do — абсолютная е-ковариантная производная; т — собственная масса частицы, выражающаяся через массу той же частицы в отсутствие гравитации т0 по правилу т = m0ds/do. Отсюда делается вывод, что, хотя, как и в общей теории относительности, инертная и гравитирующая массы частиц равны, они не обязательно постоянны (поэтому масса явно входит в уравнения движения; в системе отсчета наблюдателя т = т0 (е0о/доо) 1 п; в приближении слабого гравитационного поля т =. т0 (1 — sfi), где sP — ньютоновский потенциал) .
Необходимость удовлетворения всем известным классическим эффектам теории гравитации потребовала совершенно определенной взаимосвязи между независимыми друг от друга объектами: метрикой "истинного" плоского пространства-времени еи "физическим потенциалом" поля д . Как известно, для совпадения результатов теорий Эйнштейна и Розена нужно, чтобы эта взаимосвязь имела смысл предельного перехода д^р -> е^xv при стремлении к нулю гравитационной константы связи (см. о двуметрическом формализме в [77]).
