Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
а для коэффициентов связности
Г»} = -(2/3) R11imXk + 0(*2); (5.4)
rg„ = SI* + (^wo + 8°v&k +
+ 6“^af2“ - QfxkQ?JXk + 0 (X2).
118
(5.5)
Движение частиц. Движение свободной пробной частицы в собственной системе отсчета фермиевского наблюдателя исследовалось в [90]. В этой работе были получены уравнения движения с точностью до бесконечно малых первого порядка и проанализирован физический смысл различных слагаемых, входящих в уравнения движения. Уравнение геодезической с учетом замены дифференцирования по собственному времени частицы дифференцированием по координатному времени х имеет вид
d2X' ( . dX* \ dX*1 dXV
---------- + Ir' - г° -----------------1 ---- ------- = о
(rf*V Vixv *v dx°J dX0 dX0
Отсюда, с использованием формул (5.4), (5.5), следует, что
Cf2Xi/ (dX*)2 = -(1 + G ax)G; + 2(6 a ,)(1 + 6 А ХУ +
+ (Ь^Х)/ - 2(1 + 6АX) (w х v)! + (w х (« х X))' -
- (« х X)'' - Km* - 2VV + (2/3)PtjjkfX1ViVit +
+ 2RQjoiXtViVi + (2/2) R0jktXVviv* + oV2), (5.6)
где b: e dG/dT + w х G; u: = dw/dT\ v — скорость частицы относительно мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчета. Различные выражения, входящие в эту длинную формулу, интерпретированы ниже [90].
Эффект
1. Обычные силы инерции.............
2. Допплеровская поправка к (1) ...
3. Релятивистская поправка из (СТО)
4. Поправка к (3) за счет красного
смещения.........................
5. Производная по T от поправки (3)
к ускорению......................
6. Ускорение сил Кориолиса..........
7. Поправка к (6) за счет красного
смещения.........................
8. Ускорение центробежных сил ....
9. Ускорение с учетом зависимости угловой скорости от T..................
10. Гравитационные эффекты "электрического" типа........................
11. Поправки СТО к (10)..............
12. Гравитационные эффекты "магнитного" типа...........................
119
Выражение в (5.6)
—в'
-(GAX)G'
2(G)v'
2 (G Aw ) (GAXJv'
(Ь^Х)*' .
-2 (Wxv)'
-2 (GAx) (Ш х у )'
[«х (WXX)]'
-(их Х);
2Ww
-2Wv
Гравитационные эффекты "дважды магнитного" типа.........................
13. Поправки СТО к (12)
Оказывается, что связь между тензором кривизны и инерциальными силами появляется только в третьем порядке разложения. Анализ системы отсчета одиночного наблюдателя с привлечением методов современной дифференциальной геометрии см. также в [138, 139].
Определим квазигруппу преобразований, обобщающую группу Пуанкаре на произвольное пространство-время. В ее определении существенную роль играют поля Якоби — она порождается ими. Кроме того, как выяснится в дальнейшем, квазигруппа Пуанкаре связана с нормальными координатами и системой отсчета одиночного наблюдателя.
Из § 5.1 следует, что поля Якобй можно получить с помощью вариации геодезически. Более того, справедлива следующая теорема.
T е о р е м а [74]. Векторное поле т? вдоль геодезической у (т) есть поле Якоби тогда и только тогда, когда оно - инфинитезимальная вариация для у (т).
Под инфинитезимальной вариацией понимается бесконечно малая вариация, переводящая у (T) опять в геодезическую.
Рассмотрим нормальную окрестность Vp точки р. Пусть ? касательный вектор К геодезической, соединяющей произвольную точку р' Є Vp с точкой р. В соответствии с уравнением девиации
вдоль каждой геодезической у (т) построим векторное поле Т7, предполагая, что начальные данные г\\р и v ^ц\р одни и те же для всех геодезических, выходящих из точки р. Тем самым в Vp определено векторное поле Т7. Каждое якобиево поле вдоль заданной геодезической можно получить геодезической вариацией этой геодезической; существует такая вариация
<*{s, Tt ?) s a (s, X),
где Xа— нормальные координаты с началом в точке р, что Ti = Ъа/ds и ? = Ъа/Ът;
тогда [17, Й = 0.
Обозначим множество полей Якоби, полученных таким образом, Ja,: пусть Th Є Jp и ть Є Jp , тогда [т?ь (•] = 0 и [т?2, ?] = 0. Отсюда с помощью тождеств Якоби легко показать, что и коммутатор
120
5.2. ОБОБЩЕНИЕ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ
(5.7)
[[fa, fa], ?] = O- Следовательно, коммутатор двух полей Якоби из Jp снова является полем Якоби, а система уравнений (5.7) образует AS-систему. Система дифференциальных уравнений для векторного поля X называется абстрактной системой определяющих уравнений (AS-системой), если она линейна и однородна и если для любых ее решений Xi и X2 коммутатор [Xi, X2] также есть решение [94]. В силу определения AS-системы ее решения образуют алгебру Ли. Обозначим gJp алгебру, построенную на полях Якоби Jp. Она вообще говоря, бесконечномерна, но с точки зрения квазигрупп преобразований поля Якоби в нашей конструкции образуют конечномерную квазиалгебру.
Найдем размерность квазиалгебры gJp. Она определяется числом независимых начальных данных в точке р и равна 42 + 4, где 4 — число независимых векторных полей в точке р, 42 — число независимых производных в точке р. Отсюда следует, что поля Якоби в окрестности точки р порождают локальную квазигруппу локальных преобразований L (Щ -+ L (Ш), где L (Ш) — расслоение линейных реперов над прос-
